3.1 二维随机变量及其分布

二维随机变量的定义

设试验 E 对应概率空间 (\Omega,\mathcal{F},P)，X 与 Y 为 (\Omega,\mathcal{F},P) 上的两个随机变量，则称 (X,Y) 为二维随机变量（或二维随机向量）。

案例： 考查上海市2022年与2023年12月份的空气质量指数数据。

• 横坐标表示PM2.5指数，记为 X
• 纵坐标表示PM10指数，记为 Y
  则 (X,Y) 构成二维随机变量。[图：PM2.5与PM10的散点图，每个点表示某一天的指数]

联合分布函数

设 (X,Y) 为二维随机变量，定义联合分布函数（简称分布函数）为：

联合分布函数的性质

1. 有界性：0 \leq F(x,y) \leq 1，且 F(+\infty,+\infty) = 1

2. 单调性（对每个变量）：

   • 固定 y，对任意 x_1 < x_2，有 F(x_1,y) \leq F(x_2,y)
   • 固定 x，对任意 y_1 < y_2，有 F(x,y_1) \leq F(x,y_2)

3. 右连续性：

   F(x_0,y_0) = F(x_0+0,y_0), \quad F(x_0,y_0) = F(x_0,y_0+0)

4. 非负性：对任意 a < b，c < d，

   F(b,d) - F(b,c) - F(a,d) + F(a,c) \geq 0

   几何意义：(X,Y) 落在矩形区域 (a,b] \times (c,d] 内的概率非负。

注：满足上述四条性质的函数可作为二维随机变量的联合分布函数。

例

设

验证 F(x,y) 是否为有效的分布函数。
解答：
取点 (0,0)，(2,0)，(2,2)，(0,2)：

违反非负性，故 F(x,y) 不能作为二维随机变量的分布函数。

边缘分布函数

设 (X,Y) 的联合分布函数为 F(x,y)，则 X 和 Y 的边缘分布函数分别为：

性质：联合分布函数唯一决定边缘分布函数，但反之不成立。

二维离散型随机变量

定义与联合分布律

若 (X,Y) 的所有可能取值为有限对或可列无穷多对，则称其为二维离散型随机变量。
设所有可能取值为 (x_i, y_j)（i,j = 1,2,\dots），则称

为 (X,Y) 的联合分布律（联合分布列）。

性质

1. p_{ij} \geq 0，\forall i,j
2. \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} = 1

联合分布律常用表格表示：

边缘分布律

由联合分布律可求边缘分布律：

例： 掷一枚骰子 3 次，X 表示点数为偶数的次数，Y 表示点数为 6 的次数。
（1）求 (X,Y) 的联合分布列；（2）求 Y 的分布列；（3）求 P(X > Y)。

解答：
（1）联合分布列：

（2）Y 的边缘分布律：

故 Y 的分布列为：

（3）P(X > Y)：

（注：查表得满足 X > Y 的项仅 (X=3,Y=2) 对应概率 1/36）

二维连续型随机变量

定义与联合密度函数

设 (X,Y) 的分布函数为 F(x,y)，若存在非负可积函数 f(x,y) 使得

则称 (X,Y) 为二维连续型随机变量，f(x,y) 称为联合密度函数。

联合密度的性质

1. f(x,y) \geq 0

2. \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy dx = 1

3. 对任意区域 G \subset \mathbb{R}^2，P((X,Y) \in G) = \iint_G f(x,y) dx dy

4. 边缘密度函数：

   f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy, \quad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx

   任意满足前两条性质的函数均可作为联合密度函数。

案例： 考查某人群的 BMI 指数 X 和血液总胆固醇含量 Y（单位：mmol/L），(X,Y) 为二维连续型随机变量。[图：BMI 与胆固醇的散点图，显示椭圆区域分布集中]

常见二维分布

（1）均匀分布

设 D 是平面上有界区域，面积为 S_D。若 (X,Y) 的联合密度为

则称 (X,Y) 在 D 上服从均匀分布。[图：均匀分布的密度曲面，在区域 D 上为常数]

（2）二维正态分布

若 (X,Y) 的联合密度为

其中 \mu_1, \sigma_1^2 > 0, \mu_2, \sigma_2^2 > 0, |\rho| < 1，则称 (X,Y) 服从参数为 (\mu_1, \sigma_1^2; \mu_2, \sigma_2^2; \rho) 的二维正态分布，记作 (X,Y) \sim N(\mu_1, \sigma_1^2; \mu_2, \sigma_2^2; \rho)。

重要结论：二维正态分布的边缘分布为一维正态分布

例： 设 (X,Y) 的联合密度为

求：（1）常数 c；（2）P(X \leq Y)；（3）边缘密度函数。

解答：
（1）由 \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y) dx dy = 1：

被积函数为奇函数，积分区间对称，故

正确计算：

矛盾！因 f(x,y) 要求非负，cxy 在 x<0 时为负，故定义域应限制 x \geq 0。
由图形 x^2 \leq y \leq 1 得 0 \leq x \leq 1：

令 \frac{c}{6} = 1，得 c = 6。

（2）P(X \leq Y)：积分区域 x^2 \leq y \leq 1 且 x \leq y，即 y \geq x（因 y \geq x^2 \geq 0）：

分区间：

• 0 \leq x \leq 1 时，x^2 \leq x 当 x \in [0,1]，故 \max(x^2, x) = x

（3）边缘密度函数：

• f_X(x)：当 0 < x < 1 时

  f_X(x) = \int_{x^2}^{1} 6xy dy = 6x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{x^2}^{1} = 3x (1 - x^4)

  故

  f_X(x) = \begin{cases} 3x(1 - x^4), & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

• f_Y(y)：当 0 < y < 1 时，x 满足 x^2 \leq y，即 0 \leq x \leq \sqrt{y}

  f_Y(y) = \int_{0}^{\sqrt{y}} 6xy dx = 6y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\sqrt{y}} = 3y \cdot y = 3y^2

  故

  f_Y(y) = \begin{cases} 3y^2, & 0 < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

3.2 二维随机变量的条件分布

二维离散型随机变量的条件分布律

设 (X,Y) 的联合分布律为 P(X = x_i, Y = y_j) = p_{ij}，则在 X = x_i 条件下 Y 的条件分布律为：

例： 掷一枚骰子 3 次，X 表示点数为偶数的次数，Y 表示点数为 6 的次数。已知 X = 2，求 Y 的条件分布。

解答：
联合分布列（见 3.1 节）：

• P(X=2) = \frac{1}{24} + \frac{1}{36} = \frac{5}{72}（边缘概率）

• 条件分布：

  \begin{align*} P(Y=0 \mid X=2) &= \frac{0}{5/72} = 0 \\ P(Y=1 \mid X=2) &= \frac{0}{5/72} = 0 \\ P(Y=2 \mid X=2) &= \frac{1/24}{5/72} = \frac{3}{5} \\ P(Y=3 \mid X=2) &= \frac{1/36}{5/72} = \frac{2}{5} \end{align*}

  故在 X=2 条件下 Y 的条件分布为：

二维连续型随机变量的条件分布

设 (X,Y) 联合密度为 f(x,y)，边缘密度 f_X(x) > 0，则在 X = x 条件下 Y 的条件分布函数和条件密度为：

重要性质

1. 乘法公式：f(x,y) = f_X(x) f_Y(y \mid X = x)
2. 全概率公式：f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(y \mid X = x) dy
3. Bayes 公式：
   f_X(x \mid Y = y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} = \frac{f_X(x) f_Y(y \mid X = x)}{\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(u) f_Y(y \mid X = u) du}

例： 已知 (X,Y) \sim N(\mu_1, \sigma_1^2; \mu_2, \sigma_2^2; \rho)，求 f_Y(y \mid X = x)。

解答：
二维正态密度：

X 的边缘密度：f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}}
条件密度：

故在 X = x 条件下 Y 的条件分布为：

3.3 随机变量的独立性

独立性定义

设 (X,Y) 为二维随机变量，若对任意实数 x,y 有

则称 X 与 Y 相互独立。

等价表述

• 对任意 a < b, c < d：P(a < X \leq b, c < Y \leq d) = P(a < X \leq b) P(c < Y \leq d)
• 对任意 Borel 集 B_1, B_2 \in \mathcal{B}(\mathbb{R})：P(X \in B_1, Y \in B_2) = P(X \in B_1) P(Y \in B_2)
• 性质：若 X,Y 独立，则 g(X) 与 h(Y) 也独立（g,h 为任意可测函数）

离散型随机变量的独立性

X,Y 独立当且仅当对任意 (x_i, y_j) 有：

此时条件分布等于边缘分布：

例：

若 X,Y 独立，问 P(X=Y)？
解答：

X,Y 不一定是同一随机变量（如 X 抛硬币，Y 另一独立抛硬币）。

连续型随机变量的独立性

X,Y 独立当且仅当在联合密度连续点处有：

此时条件密度等于边缘密度：

例： 判断下列联合密度中 X,Y 是否独立：
(1) $f_1(x,y) =
\begin{cases}
4xy, & 0 < x < 1, 0 < y < 1 \
0, & \text{其他}
\end{cases}$
(2) $f_2(x,y) =
\begin{cases}
8xy, & 0 < x < y, 0 < y < 1 \
0, & \text{其他}
\end{cases}$

解答：
(1) 边缘密度：

且 f_1(x,y) = 4xy = (2x)(2y) = f_X(x) f_Y(y)，故 X,Y 独立。
(2) 边缘密度：

但 f_2(x,y) = 8xy \neq 4x(1-x^2) \cdot 4y^3，故不独立。
定理：X,Y 独立的充要条件是存在非负可积函数 r(x), s(y) 使得 f(x,y) = r(x)s(y)。

多维随机变量的独立性

设 (X_1, \dots, X_n) 为 n 维随机变量，联合分布函数 F(x_1, \dots, x_n) = P(X_1 \leq x_1, \dots, X_n \leq x_n)。
称 X_1, \dots, X_n 相互独立，若对任意实数 x_1, \dots, x_n 有：

等价于联合密度可分解为边缘密度乘积：f(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} f_{X_i}(x_i)。

重要推论（二维正态分布）：
若 (X,Y) \sim N(\mu_1, \sigma_1^2; \mu_2, \sigma_2^2; \rho)，则 X,Y 相互独立当且仅当 \rho = 0。

3.4 多维随机变量函数的分布

离散型随机变量函数的分布

设 (X,Y) 为离散型，Z = g(X,Y)，则 Z 的分布为：

例： 设 (X,Y) 联合分布为：

求 X+Y, X-Y, XY, Y/X 的分布。

解答：

• X+Y 可能取值：-2, 0, 1, -1, 1, 2

  \begin{align*} P(X+Y=-2) &= P(X=-1,Y=-1) = 1/8 \\ P(X+Y=0) &= P(X=-1,Y=1) = 1/12 \\ P(X+Y=1) &= P(X=-1,Y=2) + P(X=0,Y=1) = 1/6 + 1/4 = 5/12 \\ P(X+Y=-1) &= P(X=0,Y=-1) = 1/8 \\ P(X+Y=2) &= P(X=0,Y=2) = 1/4 \end{align*}

  故 X+Y 分布：

  Z	-2	-1	0	1	2
  P	1/8	1/8	1/12	5/12	1/4

（其余 X-Y、XY、Y/X 类似求解，过程略）

可加性离散分布：

• 若 X \sim B(n_1,p), Y \sim B(n_2,p) 且独立，则 X+Y \sim B(n_1+n_2,p)
• 若 X \sim Po(\lambda_1), Y \sim Po(\lambda_2) 且独立，则 X+Y \sim Po(\lambda_1+\lambda_2)

连续型随机变量函数的分布

设 (X,Y) 联合密度 f(x,y)，Z = g(X,Y)，一般方法：

再求导得密度 f_Z(z) = F_Z'(z)。

（1）和 Z = X + Y 的密度

若 X,Y 独立，则 f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)，故

（卷积公式）

例： 设 (X,Y) 联合密度 $f(x,y) =
\begin{cases}
3x, & 0 < x < 1, 0 < y < x \
0, & \text{其他}
\end{cases}，求 Z = X + Y$ 的密度。

解答：
积分区域：0 < x < 1, 0 < y < x, y \leq z - x ⇒ 0 < x < 1, 0 < y < \min(x, z - x)
分情况讨论：

• 当 z \leq 0：f_Z(z) = 0

• 当 0 < z \leq 1：

  F_Z(z) = \int_{0}^{z/2} \int_{0}^{x} 3x dy dx + \int_{z/2}^{z} \int_{0}^{z-x} 3x dy dx = \cdots

  直接求密度：

  f_Z(z) = \int_{x} f(x, z - x) dx, \quad \text{其中 } 0 < x < 1, 0 < z - x < x \Rightarrow z/2 < x < z

  且 0 < z < 2：

  f_Z(z) = \begin{cases} \int_{z/2}^{z} 3x dx = \frac{3}{2} (z^2 - \frac{z^2}{4}) = \frac{9z^2}{8}, & 0 < z \leq 1 \\ \int_{z/2}^{1} 3x dx = \frac{3}{2} (1 - \frac{z^2}{4}), & 1 < z < 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

（2）商 Z = X / Y 的密度

（3）平方和 Z = X^2 + Y^2 的密度

用极坐标变换：x = r\cos\theta, y = r\sin\theta，则

例： 设 X \sim N(0,1), Y \sim N(0,1) 且独立，则 Z = X^2 + Y^2 \sim \chi^2(2)（自由度 2 的卡方分布）。
解答：
联合密度 f(x,y) = \frac{1}{2\pi} e^{-(x^2+y^2)/2}，

即 Z \sim \text{Exp}(1/2)，等价于 \chi^2(2)。

（4）极值分布

设 M = \max(X,Y), N = \min(X,Y)，则：

若 X,Y 独立，F_N(v) = 1 - [1 - F_X(v)][1 - F_Y(v)]。

推广：对独立随机变量 X_1,\dots,X_n，

正态随机变量的可加性

若 X,Y 独立，X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2), Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)，则

推广：若 X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2) 相互独立，则

案例： 医院专家对每个病人诊断需初诊时间 X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)（分钟），复诊时间 Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)（分钟），且 X,Y 独立。求总时长 Z = X + Y 的分布。
解答：

案例（续）： 每个病人以概率 p 需要复诊（与 X,Y 独立），令 I = \begin{cases} 1, & \text{需复诊} \\ 0, & \text{否则} \end{cases}，则总时长 Z = X + IY。
解答：

故 Z 是混合分布：以概率 1-p 服从 N(\mu_1, \sigma_1^2)，以概率 p 服从 N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)。