数理方法-解偏微分方程｜迎接更好的明天

习题选讲

验证 u(x,t) = F(x + at) + G(x - at) 是振动方程 u_{tt} - a^2 u_{xx} = 0 的通解，其中 F,G 是任意的二阶可微函数。

解：由链式法则

\begin{aligned} u_t &= F'(x + at) \cdot a + G'(x - at) \cdot (-a) \\ u_{tt} &= F''(x + at) \cdot a^2 + G''(x - at) \cdot (-a)^2 \\ u_x &= F'(x + at) + G'(x - at) \\ u_{xx} &= F''(x + at) + G''(x - at) \end{aligned}

容易得到 u_{tt} - a^2 u_{xx} = 0，表明 u(x,t) = F(x + at) + G(x - at) 是振动方程的解。

下面证明是通解：

令 (x,t) \to (\xi, \eta) 满足 \xi = x + at, \eta = x - at，由链式法则：

\begin{aligned} u_x &= u_\xi + u_\eta \\ u_{xx} &= u_{\xi\xi} + 2u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta} \\ u_t &= u_\xi \cdot a + u_\eta \cdot (-a) \\ u_{tt} &= (u_{\xi\xi} - 2u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta}) \cdot a^2 \end{aligned}

代入方程 u_{tt} - a^2 u_{xx} = 0，得到 -4a^2 u_{\xi\eta} = 0 或 u_{\xi\eta} = 0。

上述推导表明，u_{tt} - a^2 u_{xx} = 0 \Leftrightarrow u_{\xi\eta} = 0，于是开始积分：

\begin{aligned} u_\xi &= C_1(\xi) \\ u &= \int C_1(\xi) d\xi + C_2(\eta) \end{aligned}

改写原方程为 u(\xi, \eta) = F(\xi) + G(\eta)，是 u_{\xi\eta} = 0 的通解。

那么 u(x,t) = F(x + at) + G(x - at) 也是振动方程 u_{tt} - a^2 u_{xx} = 0 的通解，其中 F(x + at), G(x - at) 分别是左行波和右行波，a 是行波速度。

二阶线性偏微分方程的化简与分类

一般形式

A u_{xx} + 2B u_{xy} + C u_{yy} + D u_x + E u_y + F u = 0 或 f

其中 A,B,C,\ldots 是 (x,y) 的已知函数或者常数，且 A,B,C 不全为 0，u = u(x,y) 是未知函数。

通常情况下，称二阶导数部分为"主要部分"，其余部分简记为 H。于是方程改写为 A u_{xx} + 2B u_{xy} + C u_{yy} = H。

判别式 \Delta

定义 \Delta = (2B)^2 - 4AC = 4(B^2 - AC)，可用"特征线方法"简化方程。

利用理论，方程具有以下形式的特征方程：A (dy)^2 - 2B dx dy + C (dx)^2 = 0。

方程的解（曲线）称为特征线。利用"特征线"可以适当对方程进行简化，并进行分类：

\Delta > 0，双曲型
\Delta < 0，椭圆型
\Delta = 0，抛物型

分类与化简

常系数情形

a_{11} u_{xx} + 2a_{12} u_{xy} + a_{22} u_{yy} = H，其中 a_{11}, a_{12}, a_{22} \in \mathbb{R}，H 是低阶项部分。

令 A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix}，是一个对称矩阵，对应一个二次型 \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y} \right) A \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{pmatrix} u = H，存在正交变换 (x,y) \to (\xi,\eta)，满足

\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial \xi} \\ \frac{\partial}{\partial \eta} \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

于是在这个变换下，u(\xi,\eta) 满足方程 \lambda_1 u_{\xi\xi} + \lambda_2 u_{\eta\eta} = \tilde{H}，其中 \lambda_1, \lambda_2 是矩阵 A 的特征值。有以下三种情况：

\lambda_1 \lambda_2 > 0，这时 \Delta < 0，令 \alpha = \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} \xi, \beta = \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} \eta，则方程可以简化为 u_{\alpha\alpha} + u_{\beta\beta} = \tilde{\tilde{H}}，其主部是拉普拉斯方程，对应椭圆型。
\lambda_1 \lambda_2 = 0，这时 \Delta = 0，令 \alpha = \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} \xi, \beta = \eta，则方程可以简化为 u_{\alpha\alpha} = \tilde{\tilde{H}} \triangleq b_1 u_\alpha + b_2 u_\beta + c u，其主部是热传导方程。进一步可以简化为 u_\beta - a^2 u_{\alpha\alpha} = 0 或 f，左边称为导热算子，或热传导的标准型。
\lambda_1 \lambda_2 < 0，这时 \Delta > 0，不妨设 \alpha = \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} \xi, \beta = \frac{1}{\sqrt{-\lambda_2}} \eta，则方程简化为 u_{\alpha\alpha} - u_{\beta\beta} = \tilde{\tilde{H}}，其主部是波动方程。

变系数情形

a_{11} u_{xx} + 2a_{12} u_{xy} + a_{22} u_{yy} = H，其中 a_{11}, a_{12}, a_{22} 是关于 x,y 的函数。

这时，矩阵 A 是函数矩阵，不再适用"二次型正交变换"，因为经过链式法则，得到的是同样复杂、形式相近的式子。比如令 \xi = \xi(x,y), \eta = \eta(x,y)，方程可化为 \bar{a}_{11} u_{\xi\xi} + 2\bar{a}_{12} u_{\xi\eta} + \bar{a}_{22} u_{\eta\eta} = \bar{H}，其中

\begin{aligned} \bar{a}_{11} &= a_{11} \xi_x^2 + 2a_{12} \xi_x \xi_y + a_{22} \xi_y^2 \\ \bar{a}_{12} &= a_{11} \xi_x \eta_x + a_{12} (\xi_x \eta_y + \xi_y \eta_x) + a_{22} \xi_y \eta_y \\ \bar{a}_{22} &= a_{11} \eta_x^2 + 2a_{12} \eta_x \eta_y + a_{22} \eta_y^2 \end{aligned}

如果取一阶偏微分方程 a_{11} \varphi_x^2 + 2a_{12} \varphi_x \varphi_y + a_{22} \varphi_y^2 = 0 的一个特解作为新自变量 \xi = \xi(x,y)，则 \bar{a}_{11} = 0，类似的，如果取另一个特解作为自变量 \eta，则 \bar{a}_{22} = 0，从而方程得以化简。

注意到 a_{11} \varphi_x^2 + 2a_{12} \varphi_x \varphi_y + a_{22} \varphi_y^2 = 0 的求解可以化为常微分方程求解：将方程变形为 a_{11} \left( -\frac{\varphi_x}{\varphi_y} \right)^2 - 2a_{12} \left( -\frac{\varphi_x}{\varphi_y} \right) + a_{22} = 0，由隐函数导数理论，可以得到 a_{11} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 2a_{12} \left( \frac{dy}{dx} \right) + a_{22} = 0，或写为 a_{11} dy^2 - 2a_{12} dx dy + a_{22} dx^2 = 0，称为二阶线性偏微分方程的特征方程，特征方程的解称为特征线。

解方程

理论

分三种情况来处理：双曲、椭圆、抛物。解方程没有理论部分难。

(i) 双曲型.

在点 (x_0, y_0) 的领域内，判别式

\Delta := a_{12}^2 - a_{11}a_{22} > 0.

此时方程(4.17)有两族积分曲线，分别由下述两个方程

\frac{dy}{dx} = \frac{a_{12}+\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}}{a_{11}}

\frac{dy}{dx} = \frac{a_{12}-\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}}{a_{11}}

确定。假设它们的解分别是 \{\varphi_1(x,y) = c\} 及 \{\varphi_2(x,y) = c\}，从而有：

\frac{\varphi_{1x}}{\varphi_{1y}} = -\frac{a_{12} + \sqrt{a_{12}^2 - a_{11}a_{22}}}{a_{11}}

\frac{\varphi_{2x}}{\varphi_{2y}} = -\frac{a_{12} - \sqrt{a_{12}^2 - a_{11}a_{22}}}{a_{11}}

由 \Delta = a_{12}^2 - a_{11}a_{22} > 0，得到 \frac{\varphi_{1x}}{\varphi_{1y}} \neq \frac{\varphi_{2x}}{\varphi_{2y}}，即变换的 Jacobi 行列式

\left| \frac{\partial (\varphi_1, \varphi_2)}{\partial (x, y)} \right| \neq 0,

故变换(4.16)是可逆的，且在此变换下，方程(4.1.2)可化为

u_{\xi \eta} + au_{\xi} + bu_{\eta} + cu = f, \tag{4.20}

其中方程的系数均为 \xi, \eta 的函数。如果再作自变量的变换

\xi = \frac{1}{2}(s + t), \quad \eta = \frac{1}{2}(s - t),

则方程进一步化为

u_{ss} - u_{tt} + a_1u_s + b_1u_t + cu = f \tag{4.21}

的形式。

(ii) 抛物型。

在点 (x_0, y_0) 的一邻域中 \Delta = a_{12}^2 - a_{11}a_{22} \equiv 0，并且 a_{11}, a_{12}, a_{22} 不全为零，此时可不妨设 a_{11} 与 a_{22} 同号，方程可表示为完全平方形式：

(\sqrt{a_{11}}\varphi_x + \sqrt{a_{22}}\varphi_y)^2 = 0

故特征曲线只有一族，记为 \varphi_1(x, y) = c。选取 \xi = \varphi_1(x, y)。由于 \Delta \equiv 0，因此

\bar{a}_{12} = a_{11}\xi x_{\mu} + a_{12}(\xi x_{\mu} + \xi y_{\mu}) + a_{22}\xi y_{\mu} = (\sqrt{a_{11}}\xi x + \sqrt{a_{22}}\xi y)(\sqrt{a_{11}}y + \sqrt{a_{22}}y) = 0.

因此，无论函数 \eta = \varphi_2(x, y) 如何选取，经变换后方程中 \bar{a}_{11} 及 \bar{a}_{12} 同时为零，从而我们可任选一个与 \varphi_1(x, y) 函数无关的函数 \eta = \varphi_2(x, y)，即在 (x_0, y_0) 附近满足 \left| \frac{\partial (\varphi_1,\varphi_2)}{\partial (x,y)} \right| \neq 0，通过变换，方程就化为

u_{nn} + au_k + bu_n + cu = f

的形式。如果在方程(4.22)中再作未知函数的线性变换

v = u e^{\frac{1}{2} \int_{x_0}^{x} k(t, r) dr}

就得到关于 v 的方程

v_{nn} + a_1v_k + c_1v = f_1, \tag{4.23}

其中不再出现关于 \eta 的一阶偏导数项。

(iii) 椭圆型。

在点 (x_0, y_0) 的附近 \Delta = a_{12}^2 - a_{11}a_{22} < 0。此时不存在实的特征线，方程(4.17)的通积分只能是复函数。因而二次方程无实值解，但有两个复共轭解，它们是实变量 x 和 y 的复值函数。

假设

\varphi(x,y) = \varphi_1(x,y) + i\varphi_2(x,y) = c

是 (4.18) 式的一个通积分，即满足 a_{11}\varphi_x = -\left(a_{12} + \sqrt{a_{12}^2 - a_{11}a_{22}}\right)\varphi_y，并且 \varphi_x, \varphi_y 不同时为零，这里 \varphi_1, \varphi_2 是实的函数。为了避免引入复函数，我们作变换

\xi = Re\varphi(x,y) = \varphi_1(x,y), \\ \eta = Im\varphi(x,y) = \varphi_2(x,y).

可以证明，\varphi_1(x,y) 和 \varphi_2(x,y) 是函数无关的。事实上，因为 \varphi(x,y) = c ，故

a_{11}\varphi_x = -\left(a_{12} + i\sqrt{a_{11}a_{22} - a_{12}^2}\right)\varphi_y.

把实部及虚部分开，得到

\begin{cases} a_{11}\xi_x = -a_{12}\xi_y + \sqrt{a_{11}a_{22} - a_{12}^2}\eta_y, \\ a_{11}\eta_x = -a_{12}\eta_y - \sqrt{a_{11}a_{22} - a_{12}^2}\xi_y. \end{cases}

由于 a_{11} \neq 0 (否则 \Delta 不会小于零)，成立

\left| \begin{array}{cc} \xi_x & \xi_y \\ \eta_x & \eta_y \end{array} \right| = \frac{\sqrt{a_{11}a_{22} - a_{12}^2}}{a_{11}}(\xi_y^2 + \eta_y^2)

这个行列式的值不等于零，否则就会推出 \xi_y = \eta_y = 0，再由前式就得出 \xi_x = \eta_x = 0，从而 \varphi_x = \varphi_y = 0，但这与关于函数 \varphi 的假定不符。因此变换中的 \varphi_1, \varphi_2 是函数无关的。

由于 \xi + i\eta 满足方程 (4.15)，代入后将实部及虚部分开，得到

a_{11}\xi_x^2 + 2a_{12}\xi_x\xi_y + a_{22}\xi_y^2 = a_{11}\eta_x^2 + 2a_{12}\eta_x\eta_y + a_{22}\eta_y^2,

a_{11}\xi_x\xi_y + a_{12}(\xi_x\eta_y + \xi_y\eta_x) + a_{22}\xi_y\eta_y = 0.

因此，由知：方程化为

u_{\xi x} + u_{\eta y} + au_{\xi} + bu_{\eta} + cu = f

的形式。