对偶空间与双线性型讲义

有限维内积空间上的线性函数

线性函数的定义

设 ​V 是数域 ​\mathbb{F} 上的线性空间，把 ​\mathbb{F} 看作自身上的一维空间，则 ​V \to \mathbb{F} 的线性映射称为 ​V 上的线性函数或线性泛函。即，若 ​f: V \to \mathbb{F} 是线性函数，则对任意 ​\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in V, k \in \mathbb{F}，有

本章 ​\mathbb{F} 取实数域或复数域，​V 是内积空间，内积用 ​(-,-) 表示。对 ​V 中固定向量 ​v，显然

是一个线性函数。反之，对有限维空间，下述定理说明任意线性函数也是这样的。

线性函数的表示定理

定理：设 ​V 是 ​n 维内积空间，​f 是 ​V 上线性函数，则必存在 ​V 中唯一向量 ​\mathbf{v}，使得 ​f(\mathbf{x}) = (\mathbf{x}, \mathbf{v}) 式对一切 ​\mathbf{x} \in V 成立。

证明：
设 ​\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n 是 ​V 的一组标准正交基，令

则直接验证在基向量上的作用效果可知，​f(\mathbf{x}) = (\mathbf{x}, \mathbf{v})。

若还有向量 ​\mathbf{u} 使得 ​f(\mathbf{x}) = (\mathbf{x}, \mathbf{u})，取 ​\mathbf{x} = \mathbf{u} - \mathbf{v} 知 ​\mathbf{u} = \mathbf{v}。

伴随算子

伴随算子的存在唯一性

定理：设 ​V 是 ​n 维内积空间，​\varphi 是 ​V 上线性变换，则唯一存在 ​V 上线性变换 ​\varphi^*，使得对一切 ​\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V，有

习惯上称内积空间上的线性变换为线性算子，简称算子。

定义：设 ​\varphi 是内积空间 ​V 上线性算子，若存在算子 ​\varphi^* 满足上式，则称 ​\varphi^* 为 ​\varphi 的伴随算子，简称为 ​\varphi 的伴随。

证明：
对任意给定的 ​\mathbf{v} \in V，直接验证可知

是 ​V 上线性函数，由上页定理，唯一存在向量 ​\mathbf{v}' 使得

定义映射 ​\varphi^*(\mathbf{v}) = \mathbf{v}'。

还需证明 ​\varphi^* 是线性的，对任意 ​\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in V, k \in \mathbb{F}，记 ​\varphi^*(\mathbf{v}_1) = \mathbf{v}'_1, \varphi^*(\mathbf{v}_2) = \mathbf{v}'_2，则对任意 ​\mathbf{u} \in V，有

即 ​\varphi^*(k\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) = k\varphi^*(\mathbf{v}_1) + \varphi^*(\mathbf{v}_2)，​\varphi^* 是线性映射。

若还有线性变换 ​\psi 满足，对一切 ​\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V，有

则 ​(\mathbf{u}, \varphi^*(\mathbf{v})) = (\mathbf{u}, \psi(\mathbf{v})) 对一切 ​\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V 成立，从而 ​\varphi^*(\mathbf{v}) = \psi(\mathbf{v}) 对一切 ​\mathbf{v} \in V 成立，即 ​\varphi^* = \psi，既得唯一性。

伴随算子的矩阵表示

定理：设 ​\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n 是 ​n 维内积空间 ​V 的一组标准正交基。若 ​V 上线性算子 ​\varphi 在该基下的矩阵为 ​A = (a_{ij})，则 ​\varphi^* 在同一组基下的矩阵为 ​\overline{A^T}。

证明：
由表示矩阵的定义，有

故

但 ​(\varphi(\varepsilon_i), \varepsilon_j) = (\varepsilon_i, \varphi^*(\varepsilon_j))，设

则

从而 ​a_{ji} = \overline{b_{ij}}。同样由表示矩阵的定义即得所证。

伴随算子的基本性质

定理：设 ​\varphi, \psi 是有限维内积空间 ​V 上的线性算子，​k 为常数，则

• ​(\varphi + \psi)^* = \varphi^* + \psi^*
• ​(k\varphi)^* = \overline{k}\varphi^*
• ​(\varphi\psi)^* = \psi^*\varphi^*
• ​(\varphi^*)^* = \varphi

注：对方阵 ​A，有时也称 ​\overline{A^T} 为 ​A 的伴随矩阵，记为 ​A^*，我们以前用的伴随矩阵称为古典伴随。

自伴算子

自伴算子的定义

定义：设 ​\varphi 是有限维内积空间 ​V 上的线性算子，​\varphi^* 是 ​\varphi 的伴随。若 ​\varphi^* = \varphi，则称 ​\varphi 是自伴算子。在 ​V 是欧氏空间时，又称为对称算子；在 ​V 是酉空间时，又称为Hermite 算子。

利用自伴算子的语言，我们可以重新证明 Hermite 矩阵（实对称矩阵）酉（正交）相似于对角阵。由于只是语言的转化，我们只列出结果，证明请同学们自行完成。

定理：

1. 设 ​\varphi 是 ​n 维内积空间 ​V 上的自伴算子。则 ​\varphi 的特征值都是实数，且对应于不同特征值的特征向量互相正交。
2. 设 ​\varphi 是 ​n 维内积空间 ​V 上的自伴算子，​U 是 ​\varphi 的不变子空间。则 ​U 的正交补 ​U^\perp 也是 ​\varphi 的不变子空间。
3. 设 ​\varphi 是 ​n 维内积空间 ​V 上的自伴算子。则存在 ​V 的一组标准正交基，使得 ​\varphi 在该基下的矩阵是对角阵。

对偶空间与对偶基

对偶空间的定义

定义：设 ​V 是数域 ​\mathbb{F} 上的线性空间，记 ​V 上线性函数（​V \to \mathbb{F} 的线性映射）所成集合为 ​V^*。按照通常映射的加法和数乘 ​V^* 也构成 ​\mathbb{F} 上线性空间，称为 ​V 的共轭空间，当 ​V 是有限维空间时，常称 ​V^* 为 ​V 的对偶空间。

对偶基的存在性

定理：设 ​V 是数域 ​\mathbb{F} 上的 ​n 维线性空间，​\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n 是 ​V 的一组基，则

构成了 ​V^* 的一组基。

定义：(​V^* 的)基 ​\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \cdots, \mathbf{f}_n 称为(​V 的基) ​\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n 的对偶基。

推论：设 ​V 是数域 ​\mathbb{F} 上的有限维线性空间，则 ​\dim V = \dim V^*。

注：对无限维空间，可以证明（需要用到分析的知识）该推论不成立。

证明：
由于线性空间 ​V 上的映射由它在 ​V 的基上的作用唯一确定，诸 ​\mathbf{f}_i 确实是线性函数。

设有线性组合使得

将上式依次作用在 ​\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n 上即知

所以 ​\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \cdots, \mathbf{f}_n 是 ​V^* 中无关向量组。

对任意 ​\mathbf{f} \in V^*，设 ​\mathbf{f}(\mathbf{e}_i) = a_i，则对 ​V 中任意向量

有

由 ​\mathbf{x} 的任意性，​\mathbf{f} = a_1\mathbf{f}_1 + a_2\mathbf{f}_2 + \cdots + a_n\mathbf{f}_n，即 ​\mathbf{f} 可以由 ​\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \cdots, \mathbf{f}_n 线性表示。

综上，​\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \cdots, \mathbf{f}_n 构成了 ​V^* 的一组基。

对偶空间的对称性记号

记号 ​\langle -,- \rangle

为了更好的理解 ​V 与 ​V^* 的对称性，引入记号 ​\langle -,- \rangle，

记号 ​\langle -,- \rangle 的简单性质：

1. 若 ​\langle \mathbf{f}, \mathbf{x} \rangle = 0 对任意 ​\mathbf{x} \in V 成立当且仅当 ​\mathbf{f} = \mathbf{0}
2. 若 ​\langle \mathbf{f}, \mathbf{x} \rangle = 0 对任意 ​\mathbf{f} \in V^* 成立当且仅当 ​\mathbf{x} = \mathbf{0}

证明：
(1) 显然，只需证明 (2)。充分性也是显然的。下面证明必要性的逆否命题。

若 ​\mathbf{x} \neq \mathbf{0}，以其为第一个向量扩充成 ​V 的一组基 ​\mathbf{x} = \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n，则对对偶基的第一个向量 ​\mathbf{f}_1，有 ​\mathbf{f}_1(\mathbf{e}_1) = 1。

对偶之对偶 ​V^{**}

固定 ​\mathbf{f} \in V^*，则 ​\langle \mathbf{f}, - \rangle 就是 ​V 上线性函数。同样地，固定 ​\mathbf{x} \in V，则 ​\langle -, \mathbf{x} \rangle 可以看作 ​V^* 上线性函数。实际上，对任意 ​\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2 \in V^*, k \in \mathbb{F}，有

从而 ​\langle -, \mathbf{x} \rangle 是 ​V^* 上线性函数。

​V^* 作为 ​\mathbb{F} 上线性空间，也有共轭空间 ​V^{**} := (V^*)^*，上面的讨论表明 ​\langle -, \mathbf{x} \rangle \in V^{**}。

定义 ​V \to V^{**} 的映射 ​\boldsymbol{\varphi}：

则对任意 ​\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2 \in V, k \in \mathbb{F}，有

即 ​\boldsymbol{\varphi} 是 ​V \to V^{**} 的线性映射。

互为对偶

再来计算 ​\boldsymbol{\varphi} 的核。若 ​\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}（这里的 ​\mathbf{0} 是 ​V^{**} 中零向量），即，对任意 ​\mathbf{f} \in V^* 有 ​\langle \mathbf{f}, \mathbf{x} \rangle = 0，由性质 (2)，必有 ​\mathbf{x} = \mathbf{0}。故 ​\ker \boldsymbol{\varphi} = \mathbf{0}，所以 ​\boldsymbol{\varphi} 是单射。

现在进一步假设 ​V 是有限维的，则 ​\dim V = \dim V^* = \dim V^{**}，从而 ​\boldsymbol{\varphi} 也是满射，故是双射。即 ​\boldsymbol{\varphi} 是 ​V \to V^{**} 的线性同构。在这个同构意义下把 ​V 和 ​V^{**} 等同起来，则 ​V 与 ​V^* 具有平等的地位：互为对偶。

定理：设 ​V 是数域 ​\mathbb{F} 上的 ​n 维线性空间，则 ​V^{**} \simeq V。

注：一个可供类比的说法：对区间 ​[0,1] 上的函数 ​f(x)，我们以前经常说"​f 在 ​x_0 点处的取值"，现在我们也可以认为那是"​x_0 在 ​f 处的取值"。

对偶映射

对偶映射的定义

下面考虑把线性映射诱导到对偶空间上去。

设 ​U, V 是数域 ​\mathbb{F} 上两个线性空间，​U^*, V^* 分别是它们的对偶空间。

若 ​\mathscr{A} 是从 ​U 到 ​V 的线性映射，则对 ​V^* 中任意线性函数 ​\mathbf{f}，​\mathbf{f}\mathscr{A} 是 ​U 上线性函数。

定义 ​V^* \to U^* 的映射 ​\mathscr{A}^* 如下：

由于对任意 ​\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2 \in V^*, k \in \mathbb{F}，按上式有

​\mathscr{A}^* 还是线性映射。

定义：记号如上，我们称 ​\mathscr{A}^* 是线性映射 ​\mathscr{A} 的对偶映射。

对偶映射的性质

定理：设 ​U, V, W 分别是数域 ​\mathbb{F} 上线性空间。​\mathscr{A}, \mathscr{B} 分别是 ​U \to V 和 ​V \to W 的线性映射，​\mathscr{A}^*: V^* \to U^*, \mathscr{B}^*: W^* \to V^* 分别是 ​\mathscr{A}, \mathscr{B} 的对偶映射，则

1. 对任意的 ​\mathbf{x} \in U 及任意的 ​\mathbf{f} \in V^*，总有

并且若 ​\widetilde{\mathscr{A}} 是 ​V^* \to U^* 的线性映射，对任意 ​\mathbf{x} \in U 及任意的 ​\mathbf{f} \in V^* 满足

则 ​\widetilde{\mathscr{A}} = \mathscr{A}^*；

2. ​(\mathscr{B}\mathscr{A})^* = \mathscr{A}^*\mathscr{B}^*；
3. 若 ​U = V，​\rm I 表示 ​V 上恒等映射，则 ​\rm I^* 是 ​V^* 上恒等映射（通常仍记为 ​\rm I）；
4. ​\mathscr{A} 是单射当且仅当 ​\mathscr{A}^* 是满射；
5. ​\mathscr{A} 是满射当且仅当 ​\mathscr{A}^* 是单射；
6. ​\mathscr{A} 是同构当且仅当 ​\mathscr{A}^* 也是同构。

证明：
(1) 由 ​\langle -,- \rangle 及 ​\mathscr{A}^* 的定义，有

又若 ​\widetilde{\mathscr{A}} 使得等式成立，则对任意 ​\mathbf{x} \in U 及任意的 ​\mathbf{f} \in V^*，有

因此对任意 ​\mathbf{f} \in V^*，​\widetilde{\mathscr{A}}(\mathbf{f}) = \mathscr{A}^*(\mathbf{f}) 成立，即 ​\widetilde{\mathscr{A}} = \mathscr{A}^*。

(2) 对任意 ​\mathbf{x} \in U, \mathbf{g} \in W^*，由性质 (1) 有

(3) 结论显然。

(4) ​\mathscr{A} 是单射的充要条件式存在 ​V \to U 的线性映射 ​\mathscr{C}，使得 ​\mathscr{C}\mathscr{A} = \rm I，​\rm I 是 ​U 上恒等映射。此时，​\mathscr{A}^*\mathscr{C}^* = (\mathscr{C}\mathscr{A})^* = \text{\rm I}^*，此为 ​\mathscr{A}^* 是满射的充要条件。

(5) 与 (4) 同理。

(6) 由 (4), (5) 立得。

例题解析

列向量空间的对偶

例 1：设 ​V 是数域 ​\mathbb{F} 上 ​n 维列向量空间，​V' 是数域 ​\mathbb{F} 上 ​n 维行向量空间。

对 ​X = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T \in V 与 ​Y = (y_1, y_2, \cdots, y_n) \in V'，定义

则对固定的 ​Y，​\langle Y, - \rangle 是 ​V 上线性函数。

反之，若 ​\mathbf{f} 是 ​V 上线性函数。取 ​\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n 为 ​V 的自然基（单位阵的列向量组），记 ​\mathbf{f}(\mathbf{e}_i) = a_i 并令 ​Y_0 = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in V'。则直接验证可知，对任意 ​X \in V，有

这说明我们可以把 ​V' 看作 ​V 的对偶空间。同理也可以把 ​V 看作 ​V' 的对偶空间。

显然 ​\mathbf{e}_1^T, \mathbf{e}_2^T, \cdots, \mathbf{e}_n^T（单位阵的行向量组）构成了 ​\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n 的对偶基。

矩阵诱导的对偶映射

例 2：设 ​U, V 分别是数域 ​\mathbb{F} 上 ​n 维和 ​m 维列向量空间。​m \times n 矩阵 ​A 通过

的方式定义了 ​U \to V 的线性映射 ​\mathscr{A}。

由上例可知，​U, V 的对偶空间分别是 ​n 维和 ​m 维行向量空间 ​U', V'。且 ​A 通过

的方式定义了 ​V' \to U' 的线性映射 ​\mathscr{A}^*。

又

而由性质 (1) 知 ​\mathscr{A}^* 恰为 ​\mathscr{A} 的对偶映射。

双线性型

双线性型的定义

上一节中，我们在两个线性空间 ​V^*, V 中定义了函数 ​\langle -,- \rangle，它可以看作一个"双变元"函数，其中一个变元在 ​V^* 内，另一个变元在 ​V 中。这个双变元函数关于每个变元都是线性的，即

这个性质称为双线性性，​\langle -,- \rangle 称为 ​V^* 与 ​V 上的双线性函数。更一般地，我们有如下的

定义：设 ​U, V 是数域 ​\mathbb{F} 上两个线性空间，​g 是 ​U \times V \to \mathbb{F} 的映射，若对任意 ​\mathbf{x}, \mathbf{y} \in U, \mathbf{z}, \mathbf{w} \in V, k, \ell \in \mathbb{F}，有

则称 ​g 是 ​U 与 ​V 上双线性型或双线性函数。

有限维空间上双线性型的矩阵表示

定义：设 ​g 是 ​m 维空间 ​U 与 ​n 维空间 ​V 上双线性型。分别选取 ​U 的基 ​\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_m 与 ​V 的基 ​\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n，则 ​m \times n 矩阵

称为 ​g（在基 ​\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_m 与 ​\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n 下）的矩阵。

任取 ​\mathbf{u} = \sum_{i=1}^m x_i\mathbf{u}_i = (\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_m)X, \mathbf{v} = \sum_{j=1}^n y_j\mathbf{v}_j = (\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n)Y，则

不同基下矩阵的关系

反之，给定 ​U 的基 ​\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_m 与 ​V 的基 ​\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n，则任意 ​m \times n 矩阵 ​A 通过

的方式确定一个双线性型，其中 ​X, Y 同上文一样，分别是 ​\mathbf{u}, \mathbf{v} 的坐标。

设 ​\mathbf{u}_1', \mathbf{u}_2', \cdots, \mathbf{u}_m' 是 ​U 的另一组基，基过渡矩阵为 ​P，再设 ​\mathbf{u} 在 ​\mathbf{u}_1', \mathbf{u}_2', \cdots, \mathbf{u}_m' 下的坐标 ​X_1，则有坐标变换公式 ​X = PX_1。同样地，设 ​\mathbf{v}_1', \mathbf{v}_2', \cdots, \mathbf{v}_n' 是 ​V 的另一组基，基过渡矩阵为 ​Q，再设 ​\mathbf{v} 在 ​\mathbf{v}_1', \mathbf{v}_2', \cdots, \mathbf{v}_n' 下的坐标 ​Y_1，则 ​Y = QY_1，于是，在新基下

即双线性型在不同基下的矩阵是相抵的。从而有

定理：设 ​g 是 ​m 维空间 ​U 与 ​n 维空间 ​V 上双线性型。则分别存在 ​U 的基 ​\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_m 与 ​V 的基 ​\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n，使得 ​g 在这两组基下的矩阵为 ​\begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}。且 ​r 是由 ​g 唯一确定的，称为 ​g 的秩。

根子空间

定义：设 ​g 是 ​U 与 ​V 上双线性型。令

则 ​L 与 ​R 分别是 ​U 与 ​V 的子空间，分别称为 ​g 的左根子空间与右根子空间。

若 ​U 与 ​V 的维数分别为 ​m 与 ​n，​g 的秩为 ​r，则由上页定理（采用相同记号）可知左根子空间恰由 ​\mathbf{u}_{r+1}, \cdots, \mathbf{u}_m 生成，右根子空间恰由 ​\mathbf{v}_{r+1}, \cdots, \mathbf{v}_n 生成，于是有

定义：若双线性型 ​g 的左、右根子空间都为零空间，则称其为非退化的。

定理：若 ​g 的秩为 ​r，则 ​g 非退化当且仅当 ​\dim U = \dim V = r。

推论：​g 非退化的充要条件是 ​g 在 ​U 与 ​V 的任意两组基下的矩阵为可逆阵。

非退化双线性型

设 ​g 是 ​U 与 ​V 上非退化双线性型。固定 ​\mathbf{u}，则 ​g(\mathbf{u}, -) 就是 ​V 上线性函数，作 ​U \to V^* 的映射

显然 ​\varphi 是一个线性映射。

由于 ​g 是非退化的，若 ​\varphi(\mathbf{u}) = \mathbf{0}---零函数，即对任意 ​\mathbf{v} 有 ​g(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = 0，则必有 ​\mathbf{u} = \mathbf{0}，从而 ​\ker\varphi = \mathbf{0}，​\varphi 是单射，再设 ​\dim U（​=\dim V）有限，则 ​\varphi 是双射。

另一方面，​\dim V^* = \dim V = \dim U，故 ​\varphi 是线性同构。若将 ​\mathbf{u} 与 ​g(\mathbf{u}, -) 等同起来，则 ​U 就成了 ​V 的对偶空间 ​V^*。这时有 ​\langle\varphi(\mathbf{u}), \mathbf{v}\rangle = g(\mathbf{u}, \mathbf{v})。

类似地，我们可以将 ​V 与 ​U^* 等同起来，即存在线性同构 ​\psi: V \to U^*，使 ​\langle\mathbf{u}, \psi(\mathbf{v})\rangle = g(\mathbf{u}, \mathbf{v}) 对任意 ​\mathbf{u} \in U, \mathbf{v} \in V 成立。

以上讨论说明非退化双线性型本质上就是对偶空间中的 ​\langle -,- \rangle。反之，​\langle -,- \rangle 给出的双线性型显然是非退化的（为什么？）。

对偶映射的推广

定理：设 ​g_1, g_2 都是 ​U 与 ​V 上非退化双线性型。则分别存在 ​U 上可逆线性变换 ​\varphi 与 ​V 上可逆线性变换 ​\psi，使得

对任意 ​\mathbf{u} \in U, \mathbf{v} \in V 成立。

证明：
由上面的讨论知存在 ​U \to V^* 的线性同构 ​\varphi_1，使得

同理存在线性同构 ​\varphi_2，使得

令 ​\varphi = \varphi_2^{-1}\varphi_1，则 ​\varphi 是 ​U 上可逆映射，且

同理可证关于 ​\psi 的结论。

关于双线性型的对偶映射

定义：设 ​g_1, g_2 都是 ​U 与 ​V 上非退化双线性型，​\varphi 是 ​V 上线性变换。若存在 ​U 上线性变换 ​\varphi^*，使得

对任意 ​\mathbf{u} \in U, \mathbf{v} \in V 成立，则称 ​\varphi^* 是 ​\varphi 关于 ​g_1, g_2 的对偶。

定理：设 ​g_1, g_2 都是 ​U 与 ​V 上非退化双线性型，​\varphi 是 ​V 上线性变换，则 ​\varphi^* 存在且唯一。

证明：
存在性。由上文知，分别存在 ​U \to V^* 的线性同构 ​\varphi_1, \varphi_2，使得

取 ​\widetilde{\varphi} 为 ​\varphi 关于 ​\langle -,- \rangle 的对偶，即 ​\langle \widetilde{\varphi}(\mathbf{u}), \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, \varphi(\mathbf{v}) \rangle。

则 ​\varphi^* = \varphi_2^{-1}\widetilde{\varphi}\varphi_1 就是 ​\varphi 的对偶映射。事实上，

唯一性。设还有 ​U 上线性变换 ​\eta 满足

则

对任意 ​\mathbf{u} \in U, \mathbf{v} \in V 成立，进而

对任意 ​\mathbf{v} \in V 成立。由 ​g_2 是非退化的，

对任意 ​\mathbf{u} \in U 成立，即 ​\eta = \varphi^*。

纯量积

对称型与交错型

定义：设 ​g 是 ​V \times V 上双线性函数，则称 ​g 是 ​V 上的纯量积。进一步地，若还有

对任意 ​\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V 成立，则称 ​g 是 ​V 上的对称型；而若还有

对任意 ​\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V 成立，则称 ​g 是 ​V 上的交错型。

交错型又称为反对称型，一个等价的定义是对任意 ​\mathbf{x} \in V，必有 ​g(\mathbf{x}, \mathbf{x}) = 0。

事实上，由 ​g(\mathbf{x}, \mathbf{x}) = -g(\mathbf{x}, \mathbf{x}) 立得 ​g(\mathbf{x}, \mathbf{x}) = 0。

反之，由

可得另一个方向的等价性。

纯量积的矩阵表示

同一般双线性型一样，纯量积也可以用矩阵表示。当然，现在只涉及到一个线性空间 ​V，我们没有必要选两组基。

定义：设 ​g 是 ​n 维线性空间 ​V 上纯量积，​\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n 是 ​V 的一组基。则称

为 ​g（在基 ​\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n 下）的矩阵。

任取 ​\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i\mathbf{e}_i = (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n)X, \mathbf{y} = \sum_{j=1}^n y_i\mathbf{e}_j = (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n)Y，则

设 ​\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n 是 ​V 的另一组基，基过渡矩阵为 ​P，则 ​g 在基 ​\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n 下的矩阵

注：有人也称上式为 ​A 合同于 ​B，注意这里没有对称性的要求。

垂直与正交

定义：设 ​g 是 ​V 上纯量积，若 ​g(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = 0，则称 ​\mathbf{x}左垂直于​\mathbf{y} 或 ​\mathbf{y}右垂直于​\mathbf{x}，记为 ​\mathbf{x} \perp \mathbf{y}。

当 ​g 为对称型或交错型时，​\mathbf{x} \perp \mathbf{y} 与 ​\mathbf{y} \perp \mathbf{x} 等价，此时，称 ​\mathbf{x} 与 ​\mathbf{y}正交。反之，我们有

定理：设 ​g 是 ​V 上纯量积，若在 ​V 中 ​\mathbf{x} \perp \mathbf{y} 与 ​\mathbf{y} \perp \mathbf{x} 等价，则 ​g 必为对称型或交错型。

证明：
对 ​V 中任意向量 ​\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}，令

则

即 ​\mathbf{x} \perp \mathbf{w}，故 ​\mathbf{w} \perp \mathbf{x}，也就是

故对任意 ​\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}，有

取 ​\mathbf{x} = \mathbf{y}，则上式进一步化为对 ​\mathbf{x}, \mathbf{z}，有

若对所有 ​\mathbf{x}, \mathbf{z}，已经有 ​g(\mathbf{z}, \mathbf{x}) = g(\mathbf{x}, \mathbf{z})，则 ​g 是对称型。

若有 ​\mathbf{x}_0, \mathbf{z}_0，使得 ​g(\mathbf{z}_0, \mathbf{x}_0) \neq g(\mathbf{x}_0, \mathbf{z}_0)，则由 (2) 式，必有 ​g(\mathbf{x}_0, \mathbf{x}_0) = g(\mathbf{z}_0, \mathbf{z}_0) = 0。

现在用反证法证明 ​g 是交错型。设有 ​\mathbf{y}_0 使得 ​g(\mathbf{y}_0, \mathbf{y}_0) \neq 0，则由 (2) 式，必有 ​g(\mathbf{y}_0, \mathbf{x}_0) = g(\mathbf{x}_0, \mathbf{y}_0), g(\mathbf{y}_0, \mathbf{z}_0) = g(\mathbf{z}_0, \mathbf{y}_0)。而由 (1) 式，又有

即 ​g(\mathbf{y}_0, \mathbf{x}_0) = g(\mathbf{x}_0, \mathbf{y}_0) = 0，同理有 ​g(\mathbf{y}_0, \mathbf{z}_0) = g(\mathbf{z}_0, \mathbf{y}_0) = 0。于是，

但是，又由 (2) 式，​g(\mathbf{z}_0, \mathbf{x}_0) = g(\mathbf{z}_0, \mathbf{x}_0 + \mathbf{y}_0) = g(\mathbf{x}_0 + \mathbf{y}_0, \mathbf{z}_0) = g(\mathbf{x}_0, \mathbf{z}_0)，矛盾。

正交与内积空间的比较

设 ​g 是 ​V 上对称型或交错型，​U 是 ​V 的子空间，记

特别地，取 ​U = V，则左根子空间等于右根子空间，称为根子空间。

定义：上式中的 ​U^\perp 称为 ​U 的正交补（空间）。

注：纯量积中正交的概念是内积空间中正交概念的推广，但二者并不完全一致。例如，在内积空间中，必有 ​U \cap U^\perp = \{\mathbf{0}\}，而在纯量积中，即使是非退化情况，这也未必成立。

例：设 ​V 是二维实线性空间，​\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 是 ​V 的一组基，​g 是矩阵 ​\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} 定义的纯量积，显然 ​g 是非退化对称型。令 ​\mathbf{u} = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2，则 ​g(\mathbf{u}, \mathbf{u}) = 0，即 ​\mathbf{u} \perp \mathbf{u}。若取 ​U 为 ​\mathbf{u} 的生成子空间，则 ​U \perp U。

非退化对称型中 ​U \cap U^\perp = \{0\} 的判别

定理：设 ​g 是 ​n 维空间 ​V 上非退化对称型，​U 是 ​V 的子空间，则 ​U \cap U^\perp = \{\mathbf{0}\} 的充要条件是 ​g 限制在 ​U 上是 ​U 的一个非退化纯量积，此时，有直和分解：

证明：
首先证明

对任意 ​\mathbf{x} \in V，​g(\mathbf{x}, -) 限制在 ​U 上是 ​U 上线性函数。作 ​V \to U^* 的映射 ​\varphi：

则 ​\varphi 是线性映射且 ​\ker \varphi = U^\perp。

另一方面，对任意 ​\mathbf{f} \in U^*，把 ​\mathbf{f} 线性扩张为 ​V 上线性函数，仍记为 ​\mathbf{f}。由 ​g 非退化，必有 ​\mathbf{x} \in V，使得 ​\mathbf{f} = g(\mathbf{x}, -)，故 ​\varphi 是满射。于是

再由 ​\dim U = \dim U^* 就得到 (1) 式。

现在设 ​U \cap U^\perp = \{\mathbf{0}\}，则由 (1) 式有 ​V = U \oplus U^\perp。

若 ​g 限制在 ​U 上退化，则存在 ​\mathbf{u} \neq \mathbf{0}, g(\mathbf{u}, U) = 0，且显然有 ​g(\mathbf{u}, U^\perp) = 0，于是 ​g(\mathbf{u}, V) = 0。这与 ​g 在 ​V 上非退化矛盾。必要性得证。

若 ​g 限制在 ​U 上非退化，则对任意 ​\mathbf{x} \in U \cap U^\perp，有 ​g(\mathbf{x}, U) = 0，即有 ​\mathbf{x} = \mathbf{0}，从而 ​U \cap U^\perp = \{\mathbf{0}\}。充分性得证。

注：当 ​g 限制在 ​U 上非退化时，​g 限制在 ​U^\perp 上也非退化。此时有 ​(U^\perp)^\perp = U。

纯量积与线性变换

定理：设 ​g 与 ​h 是 ​n 维空间 ​V 上两个非退化纯量积，则存在 ​V 上唯一可逆线性变换 ​\varphi，使得对任意 ​\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V，有

证明：
取 ​V 的一组基 ​\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n。记 ​A = (h(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j)), B = (g(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j))。设 ​\mathbf{x}, \mathbf{y} 的坐标分别为 ​X, Y，则

只需要（且必须要，为什么？）取 ​\varphi 在基 ​\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n 下的矩阵 ​C 使得 ​C^T = AB^{-1}，此时，​\varphi(\mathbf{x}) 的坐标为 ​CX，于是

交错型与辛空间

交错型的标准型

定理：设 ​g 是 ​n 维空间 ​V 上交错型，则存在 ​V 的一组基

使得 ​g 在这组基下的矩阵为分块对角矩阵

其中，共有 ​r 个 2 阶方阵 ​S = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}。

证明：
不妨设 ​g \neq 0。这时必有 ​\mathbf{u}, \mathbf{v} 使得 ​g(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = a \neq 0。取 ​\mathbf{u}_1 = a^{-1}\mathbf{u}, \mathbf{v}_1 = \mathbf{v}，则 ​g(\mathbf{u}_1, \mathbf{v}_1) = -g(\mathbf{v}_1, \mathbf{u}_1) = 1。又 ​\mathbf{u}_1, \mathbf{v}_1 必线性无关，否则 ​g(\mathbf{u}_1, \mathbf{v}_1) = 0。

现在假设已经取定 ​\mathbf{u}_1, \mathbf{v}_1, \cdots, \mathbf{u}_j, \mathbf{v}_j 共 ​2j 个无关向量，满足

设 ​W 是 ​\mathbf{u}_1, \mathbf{v}_1, \cdots, \mathbf{u}_j, \mathbf{v}_j 的生成子空间，令

显然 ​g 限制在 ​W 上是非退化的。若 ​\mathbf{u} \in W \cap W^\perp，则 ​g(\mathbf{u}, W) = 0，由非退化可知 ​\mathbf{u} = \mathbf{0}，故 ​W \cap W^\perp = \{0\}。

对任意 ​\mathbf{x} \in V，令

则

因此 ​\mathbf{y} \in W^\perp。于是，由

知，​V = W \oplus W^\perp。

若 ​g 在 ​W^\perp 上限制为 ​\mathbf{0}（零函数），则 ​r = j 已经符合要求。

否则，可以在 ​W^\perp 中继续找到 ​\mathbf{u}_{j+1}, \mathbf{v}_{j+1}，继续以上步骤，即可找到符合定理要求的基。

辛空间与辛基

由以上定理可知，反对称矩阵 ​A 的"合同"标准型为

其中 ​2r 是 ​A 的秩。

推论：

1. 数域 ​\mathbb{F} 上反对称矩阵的秩必为偶数，行列式必为 ​\mathbb{F} 中某元素的平方。
2. 数域 ​\mathbb{F} 上两个反对称矩阵"合同"当且仅当它们有相同的秩。

定义：设 ​V 是数域 ​\mathbb{F} 上有限维空间，若 ​V 上定义了一个非退化交错型 ​g，则称 ​V 是一个辛空间。此时，（由非退化）定理中的 ​\mathbf{u}_1, \mathbf{v}_1, \cdots, \mathbf{u}_r, \mathbf{v}_r 称为 ​V 的辛基。

辛基下 ​g 的形式非常简单。设

则

辛变换

定义：设 ​V 是辛空间（其交错型为 ​g），​\varphi 是 ​V 上可逆线性变换，若对任意 ​\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V，有

则称 ​\varphi 是 ​V 上辛变换。

性质：

1. ​V 上线性变换 ​\varphi 是辛变换的充要条件是 ​\varphi 把辛基变为辛基；
2. 两个辛变换之积仍然是辛变换；
3. 恒等变换是辛变换；
4. 辛变换的逆变换是辛变换。

证明：
(1) 由辛基下 ​g 的形式直接代入得到，(2),(3),(4) 是 (1) 的显然推论，细节留给同学们。

对称型与正交几何

对称型与二次型的关系

设 ​V 是 ​n 维线性空间，​g 是 ​V 上对称型。取 ​V 的一组基 ​\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n，记 ​g 的矩阵为 ​A，显然 ​A 是对称阵。设 ​V 中向量 ​\mathbf{x}, \mathbf{y} 的坐标分别为 ​X, Y，则

我们得到一个 ​V 上二次型。

反之，给定对称矩阵 ​A 及二次型 ​f(\mathbf{x}) = X^TAX，则

给出 ​V 上一个对称型。

所以，对称型与二次型可以说是同一个结构的两种不同表述方式。

正交基

由二次型理论（配方法），我们知道任意对称阵必合同于对角阵。因此若 ​g 是对称型，必存在 ​V 的一组基，使得 ​g 的矩阵为对角阵。

定义：若 ​V 的一组基 ​\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n 使得对称型 ​g 在其下的矩阵为对角阵，则称为正交基。

注：注意对称型的正交基比欧氏空间的正交基要求要弱得多。实际上，欧氏空间中的内积是一个正定对称型。若 ​V 上带有一个非退化的对称型，则 ​V 上的几何学称为正交几何学，它是欧氏几何的推广。

正交变换

定义：设 ​V_1, V_2 都是 ​n 维空间（其上分别有非退化对称型 ​g_1, g_2），​\eta 是 ​V_1 \to V_2 的线性同构，若对任意 ​\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V_1，有

则称 ​\eta 是 ​V_1 \to V_2 的保距同构。特别地，当 ​V_1 = V_2, g_1 = g_2 时，​\eta 称为 ​(V_1, g_1) 上的一个正交变换。

性质：

1. ​V 上两个正交变换之积仍然是正交变换；
2. 恒等变换是正交变换；
3. 正交变换的逆变换也是正交变换。

证明：证明是平凡的，代入定义直接验证即可。

镜像变换

对给定的 ​\mathbf{v} \in V 使得 ​g(\mathbf{v}, \mathbf{v}) \neq 0，构造映射

则

即，​S_{\mathbf{v}} 是一个正交变换。

显然，​S_{\mathbf{v}}(\mathbf{v}) = -\mathbf{v}；而对 ​\mathbf{u} \perp \mathbf{v}，有 ​S_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \mathbf{u}，其映射效果正如镜子反射一样。

正交变换的分解

引理：若 ​\eta 是 ​V 上正交变换，则

证明：直接计算，

定理：设 ​V 是 ​n 维线性空间，​g 是 ​V 上非退化对称型，​\eta 是 ​V 上正交变换，则 ​\eta 可以表为不超过 ​n 个镜像变换之积。

证明：
对维数用归纳法。

当 ​n = 1 时，注意到必有 ​\eta(\mathbf{x}) = \pm \mathbf{x}，结论显然成立。

现在假设结论对 ​n-1 维空间成立。由 ​g 非退化，必有 ​\mathbf{u} \in V 使得 ​g(\mathbf{u}, \mathbf{u}) \neq 0。令 ​\mathbf{v} = \eta(\mathbf{u})，则 ​g(\mathbf{v}, \mathbf{v}) = g(\mathbf{u}, \mathbf{u}) \neq 0。以下构造镜像变换 ​\rho，使得 ​\rho(\mathbf{u}) = \mathbf{v} 或 ​\rho(\mathbf{u}) = -\mathbf{v}。由于

不妨设 ​g(\mathbf{u} - \mathbf{v}, \mathbf{u} - \mathbf{v}) \neq 0（否则用 ​-\mathbf{v} 代替 ​\mathbf{v}）。令 ​\mathbf{z} = \mathbf{u} - \mathbf{v}, \rho = S_{\mathbf{z}}。由于 ​g(\mathbf{v}, \mathbf{v}) = g(\mathbf{u}, \mathbf{u})，故 ​g(\mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{u} - \mathbf{v}) = g(\mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{z}) = 0，即 ​g(\mathbf{u}, \mathbf{z}) = -g(\mathbf{v}, \mathbf{z})。

进而，​g(\mathbf{z}, \mathbf{z}) = g(\mathbf{u} - \mathbf{v}, \mathbf{u} - \mathbf{v}) = 2g(\mathbf{u}, \mathbf{z})。故

现在令 ​\xi = \rho^{-1}\eta，则 ​\xi 是正交变换，且 ​\xi(\mathbf{u}) = \mathbf{u}（或 ​\xi(\mathbf{u}) = -\mathbf{u}），由于对任意 ​\mathbf{x} \in \langle \mathbf{u} \rangle^\perp，有

​\langle \mathbf{u} \rangle^\perp 是 ​\xi 的不变子空间。

显然，​\xi 限制在 ​\langle \mathbf{u} \rangle^\perp 上还是正交变换。由归纳法假设，​\xi 可表为 ​\langle \mathbf{u} \rangle^\perp 上不超过 ​n-1 个镜像变换之积。

用显然的方式把 ​\langle \mathbf{u} \rangle^\perp 上镜像变换扩张成 ​V 上镜像变换，则得到定理结论。

推论：​n 维欧氏空间中任意正交矩阵可以表为不超过 ​n 个镜像矩阵之积。