半无界一维对流弥散方程的解析解
半无界一维对流弥散方程的解析解
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方程形式与各项含义
方程
方程形式如下：
R \frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} - v \frac{\partial C}{\partial x} - \mu C + \gamma
各项含义
C(x,t)：溶质浓度（因变量），随空间位置x和时间t变化。R：阻滞因子（Retardation Factor），描述溶质在固相和液相之间的分配行为（如吸附），R > 1表示溶质移动比水流慢。D：弥散系数（Dispersion Coefficient），代表由于机械混合和分子扩散引起的溶质扩散。v：孔隙水流速（Pore Water Velocity），表示溶质随水流移动的速度（对流项）。μ：一级衰减系数（First-order decay rate constant），表示溶质因化学分解或生物降解而减少的速率。γ：源汇项（Source/Sink term），表示单位体积内溶质的生成或消耗率（例如注入或反应产生）。
解析解
第三类边值条件（通量边界）
边界条件
(-D \frac{\partial C}{\partial x} + vC)\bigg|_{x=0} =
\begin{cases}
v C_o & 0 < t < t_o \\
0 & t > t_o
\end{cases}
即：当 t<t_0 时，x=0 处通量恒定且非负；当 t>t_0 时，通量为 0。
此时，解析解为：
C(x,t) =
\begin{cases}
\frac{\gamma}{\mu} + (C_i - \frac{\gamma}{\mu}) A(x,t) + (C_o - \frac{\gamma}{\mu}) B(x,t) & 0 < t < t_o \\
\frac{\gamma}{\mu} + (C_i - \frac{\gamma}{\mu}) A(x,t) + (C_o - \frac{\gamma}{\mu}) B(x,t) - C_o B(x,t-t_o) & t > t_o
\end{cases}
其中：
- \dfrac{\gamma}{\mu} 是稳态平衡浓度（当衰减和源项平衡时的浓度）。
辅助函数定义如下：
A(x,t) = \exp\left(-\frac{\mu t}{R}\right) \left\{
1 - \frac{1}{2} \text{erfc}\left[\frac{Rx - vt}{2(DRt)^{1/2}}\right]
- \left(\frac{v^2 t}{\pi DR}\right)^{1/2} \exp\left[ -\frac{(Rx - vt)^2}{4DRt} \right]
+ \frac{1}{2} \left(1 + \frac{vx}{D} + \frac{v^2 t}{DR}\right) \exp\left(\frac{vx}{D}\right) \text{erfc}\left[\frac{Rx + vt}{2(DRt)^{1/2}}\right]
\right\}
B(x,t) = \frac{v}{v+u} \exp\left[\frac{(v-u)x}{2D}\right] \text{erfc}\left[\frac{Rx - ut}{2(DRt)^{1/2}}\right]
+ \frac{v}{v-u} \exp\left[\frac{(v+u)x}{2D}\right] \text{erfc}\left[\frac{Rx + ut}{2(DRt)^{1/2}}\right]
+ \frac{v^2}{2\mu D} \exp\left(\frac{vx}{D} - \frac{\mu t}{R}\right) \text{erfc}\left[\frac{Rx + vt}{2(DRt)^{1/2}}\right]
u = v \left(1 + \frac{4\mu D}{v^2}\right)^{1/2}
Dirichlet 边值条件（浓度边界）
边界条件
c(0,t) =
\begin{cases}
C_o & 0 < t < t_o \\
0 & t > t_o
\end{cases}
即：当 t<t_0 时，x=0 处浓度恒定为 C_o；当 t>t_0 时，浓度突降为 0。
同时，初始条件为：
c(x,0) = C_i
远场边界条件为：
\frac{\partial c}{\partial x}(\infty, t) = \text{finite}
此时，解析解为（引用自 Carslaw and Jaeger, 1959, p. 388）：
c(x,t) =
\begin{cases}
C_i + (C_o - C_i) A(x,t) + B(x,t) & 0 < t < t_o \\
C_i + (C_o - C_i) A(x,t) + B(x,t) - C_o A(x, t - t_o) & t > t_o
\end{cases}
其中辅助函数定义如下：
A(x,t) = \frac{1}{2} \text{erfc}\left[\frac{Rx - vt}{2(DRt)^{1/2}}\right] + \frac{1}{2} \exp\left(\frac{vx}{D}\right) \text{erfc}\left[\frac{Rx + vt}{2(DRt)^{1/2}}\right]
B(x,t) = \frac{\gamma}{R} \left\{
t + \frac{(Rx - vt)}{2v} \text{erfc}\left[\frac{Rx - vt}{2(DRt)^{1/2}}\right]
- \frac{(Rx + vt)}{2v} \exp\left(\frac{vx}{D}\right) \text{erfc}\left[\frac{Rx + vt}{2(DRt)^{1/2}}\right]
\right\}
半无界一维对流弥散方程的解析解
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