第二章 随机变量及其分布

2.1 随机变量的概念

随机变量的定义

随机变量是将样本空间中的每个样本点映射到实数的函数。设 E 为随机试验，(\Omega, \mathcal{F}, P) 为其概率空间，则随机变量 X 是定义在 \Omega 上的实值函数：

满足对任意实数 x，集合 \{\omega : X(\omega) \leq x\} 都属于 \sigma-代数 \mathcal{F}。

引例：掷一枚均匀硬币 5 次，样本空间为：

定义 X(\omega) 为正面朝上的次数，则 X 是随机变量。

案例 1：考查某超市的支付方式，样本空间 \Omega = \{现金支付, 微信支付, 支付宝\}，其中现金支付占 20%，微信支付占 45%，支付宝支付占 35%。定义：

则 X 是 (\Omega, \mathcal{F}, P) 上的随机变量。

随机变量的分类

• 离散型随机变量：可能取值为有限个或可列无穷多个
• 非离散型随机变量：其中最重要类型为连续型随机变量
  本课程主要讨论离散型与连续型随机变量。

分布函数的定义

设 X 为 (\Omega, \mathcal{F}, P) 上的随机变量，对每个实数 x，定义：

称 F(x) 为随机变量 X 的分布函数。

案例 1（续）：在超市支付案例中，求 X 的分布函数。
解答：
由定义 F(x) = P(X \leq x)，结合概率分布：

• 当 x < 0 时，P(X \leq x) = 0
• 当 0 \leq x < 1 时，P(X \leq x) = P(X = 0) = 0.2
• 当 1 \leq x < 2 时，P(X \leq x) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.2 + 0.45 = 0.65
• 当 x \geq 2 时，P(X \leq x) = 1
  因此：

分布函数的性质

1. 单调性：\forall x_1 < x_2，有 F(x_1) \leq F(x_2)

2. 右连续性：\lim_{\varepsilon \to 0^+} F(x + \varepsilon) = F(x)

3. 极限性质：

   \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1

   且 0 \leq F(x) \leq 1 对所有 x 成立

重要结论：任意函数 G(x) 满足上述三条性质，均可作为某个随机变量的分布函数。

分布函数的概率计算

设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则对任意 a < b：

其中 F(x-0) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} F(x - \varepsilon) 表示左极限。

2.2 离散型随机变量及其分布

离散型随机变量的定义

设随机变量 X 的可能取值为有限多个或可列无穷多个，则称 X 为离散型随机变量。

分布列（分布律）

设 X 的可能取值为 x_1, x_2, \dots，则其概率分布可表示为：

其中 P(X = x_k) = p_k 称为分布列或分布律，满足：

1. p_k \geq 0, k = 1, 2, \dots
2. \sum_{k} p_k = 1

重要性质：任意给定 p_k 满足上述两条性质，均可作为分布律。

分布函数与分布列的关系

对于离散型随机变量：

且在 X 的可能取值 x_k 处：

分布函数 F(x) 是分段阶梯函数，在 x_k 处有跳跃间断点，跃度为 p_k。

常见离散分布

(1) 0-1 分布（两点分布）

设随机变量 X 的分布律为：

其中 p + q = 1，0 < p < 1，则称 X 服从参数为 p 的 0-1 分布，记作 X \sim B(1, p)。
其分布律可写为：

应用场景：抛硬币、新生儿性别、设备故障检测等只有两种结果的试验。

(2) 二项分布

设 n 重伯努利试验中，事件 A 发生的概率为 P(A) = p (0 < p < 1)，X 表示 A 发生的次数，则 X 服从参数为 n, p 的二项分布，记作 X \sim B(n, p)，其分布律为：

其中 C_n^k = \binom{n}{k} 为组合数。

注：0-1 分布是 n = 1 时的特例。

二项分布的特性：

• 当 (n+1)p 为整数时，在 k = (n+1)p 或 k = (n+1)p - 1 处概率取得最大值
• 当 (n+1)p 非整数时，在 k = \lfloor (n+1)p \rfloor 处概率最大
• 固定 p 时，随着 n 增大，分布趋于对称

例题 1（几何分布）：独立重复进行某随机试验，每次成功概率为 p，设 X 为首次成功所需的试验次数。求 X 的分布列。
解答：
X 的可能取值为 1, 2, 3, \dots，事件 \{X = k\} 表示前 k-1 次失败且第 k 次成功，因此：

故 X 服从几何分布。

案例 2：某网络游戏中击杀怪物可能掉落装备 A_1 或 A_2（概率各 10%）或不掉落（80%）。收集齐 A_1 和 A_2 各一件可合成套装。设 X 为合成一件套装所需击杀次数，求 X 的分布列。
解答：
X 的可能取值为 2, 3, 4, \dots。事件 \{X = n\} 表示：

• 前 n-1 次中只掉落一种装备（且至少掉落一次），且第 n 次掉落缺失的装备。

设 B 为前 n-1 次只掉落 A_1 的事件，则：

同理，前 n-1 次只掉落 A_2 的概率也为 (0.9)^{n-1} - (0.8)^{n-1}。
第 n 次掉落缺失装备的概率为 0.1，因此：

(3) 泊松分布

泊松定理：若 \lim_{n \to \infty} np_n = \lambda > 0，则对固定 k = 0, 1, 2, \dots：

当 n 较大、p 较小且 np = \lambda 适中时（如 n \geq 20, p \leq 0.05 或 n \geq 100, np \leq 10），可用泊松分布近似二项分布：

定义：若随机变量 X 的分布律为：

其中 \lambda > 0，则称 X 服从参数为 \lambda 的泊松分布，记作 X \sim P(\lambda) 或 X \sim \text{Poi}(\lambda)。

应用场景：单位时间内的顾客数、容器中细菌数、交通事故次数等稀有事件计数。

案例：设有 90 台同类型设备，每台故障概率 0.01，相互独立。一台设备故障需一人维修，每人仅能修一台。比较“3 人共同负责 90 台”与“3 人各负责 30 台”两种方案下设备故障不能及时维修的概率。
解答：
(1) 3 人共同负责 90 台：
设 X 为故障设备数，则 X \sim B(90, 0.01)。不能及时维修当且仅当 X > 3，其概率为：

用泊松近似 \lambda = np = 90 \times 0.01 = 0.9：

(2) 3 人各负责 30 台：
设 X_i 为第 i 人负责区域的故障设备数，则 X_i \sim B(30, 0.01)。第 i 人不能及时维修当 X_i > 1（因仅能修一台），其概率为：

用泊松近似 \lambda = 30 \times 0.01 = 0.3：

整个系统不能及时维修当至少一人无法及时维修，概率为：

结论：共同负责方案概率更低（0.0135 < 0.594），应选择共同负责。

案例：某网店商品日点击顾客数 N \sim \text{Poi}(\lambda)，点击后购买概率为 p。求日购买顾客数 X 的分布。
解答：
X 的可能取值为 0, 1, 2, \dots，由全概率公式：

其中 P(X = k \mid N = n) = C_n^k p^k (1 - p)^{n - k}（二项分布），代入：

故 X \sim \text{Poi}(\lambda p)，即泊松分布的可加性。

2.3 连续型随机变量及其分布

连续型随机变量的定义

设 X 为随机变量，其分布函数为 F(x)。若存在非负可积函数 f(x) 使得：

则称 X 为连续型随机变量，f(x) 称为概率密度函数（简称密度函数）。

密度函数的性质

1. 非负性：f(x) \geq 0，对所有 x
2. 归一性：
   \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = 1
3. 导数关系：在 f(x) 的连续点 x_0 处：
   f(x_0) = F'(x_0)
4. 概率计算：对任意 a < b：
   P(a < X \leq b) = P(a \leq X \leq b) = P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(t) dt
5. 单点概率：对任意 a，P(X = a) = 0

注：连续型随机变量的分布函数 F(x) 处处连续，而密度函数 f(x) 在非连续点可能不唯一。

例题：设随机变量 X 的密度函数为：

(1) 求常数 c；
(2) 求 P(X \in [0.4, 0.6])；
(3) 设 Y 为 3 次独立观测中 "X \in [0.4, 0.6]" 发生的次数，求 P(Y = 1)。
解答：
(1) 由归一性：

解得 c = 6。

(2) 计算概率：

(3) 设事件 A = \{X \in [0.4, 0.6]\}，则 P(A) = p = 0.312。Y \sim B(3, p)，故：

常见连续分布

(1) 均匀分布

若 X 的密度函数为：

则称 X 服从区间 (a, b) 上的均匀分布，记作 X \sim U(a, b)。

分布函数：

[图：均匀分布密度函数和分布函数示意图]

(2) 指数分布

若 X 的密度函数为：

其中 \lambda > 0，则称 X 服从参数为 \lambda 的指数分布，记作 X \sim E(\lambda)。

分布函数：

无记忆性：对任意 s, t > 0，

证明：

此性质说明指数分布具有"永远年轻"的特性。

案例（酒店订单）：设 N(t) 为长为 t 小时内的订单数，N(t) \sim \text{Poi}(\lambda t)。求相继两个订单的时间间隔 T 的分布。
解答：
由泊松过程性质，T > t 当且仅当 [0, t] 内无订单，即：

故分布函数：

因此 T \sim E(\lambda)。

(3) 正态分布

若 X 的密度函数为：

其中 \mu \in \mathbb{R}, \sigma > 0，则称 X 服从参数为 \mu, \sigma^2 的正态分布，记作 X \sim N(\mu, \sigma^2)。

标准正态分布：当 \mu = 0, \sigma = 1 时，记作 X \sim N(0, 1)，其密度函数和分布函数为：

\Phi(x) 的值可通过标准正态分布表查询，且满足 \Phi(-x) = 1 - \Phi(x)。

标准化：若 X \sim N(\mu, \sigma^2)，则：

因此：

案例：某人群（40~50 岁）正常人空腹血糖指标 X \sim N(5.5, 0.4^2)。求血糖偏高概率 P(X > 6.2)。
解答：
标准化：

查表得 \Phi(1.75) = 0.9599，故：

案例（混合高斯模型）：某人群中糖尿病人占 17%，正常人血糖指标 X \sim N(5.5, 0.4^2)，糖尿病人血糖指标 X \sim N(6.9, 0.51^2)。求任取一人的血糖密度函数。
解答：
设 A 为"任取人为糖尿病人"，则 P(A) = 0.17，P(A^c) = 0.83。由全概率公式：

其中：

因此：

案例（贝叶斯医学诊断）：同上设定，已知某人血糖指标 X = 6.1，求患糖尿病概率 P(A \mid X = 6.1)。
解答：
由贝叶斯公式：

计算：

• f_{X \mid A^c}(6.1) = \frac{1}{0.4\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(6.1 - 5.5)^2}{2 \cdot 0.4^2}\right) = \frac{1}{0.4\sqrt{2\pi}} e^{-1.125} \approx 0.482
• f_{X \mid A}(6.1) = \frac{1}{0.51\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(6.1 - 6.9)^2}{2 \cdot 0.51^2}\right) = \frac{1}{0.51\sqrt{2\pi}} e^{-1.235} \approx 0.463
• f_X(6.1) = 0.83 \times 0.482 + 0.17 \times 0.463 \approx 0.478
• P(A \mid X = 6.1) = \frac{0.463 \times 0.17}{0.478} \approx 0.164

因此，患糖尿病概率约为 16.4%。

2.4 随机变量函数的分布

问题描述

已知随机变量 X 的分布，Y = g(X)，求 Y 的分布。

离散型情形

直接转换：若 X 取值 x_k 概率为 p_k，则 Y = g(x_k) 的概率为：

例题：已知 X 的概率分布为：

求 Y = X^2 的分布律。
解答：
Y 的可能取值及对应概率：

• Y = 0 当 X = 0：P(Y = 0) = P(X = 0) = 1/8
• Y = 1 当 X = -1 或 X = 1：P(Y = 1) = P(X = -1) + P(X = 1) = 1/8 + 1/4 = 3/8
• Y = 4 当 X = 2：P(Y = 4) = P(X = 2) = 1/2
  故 Y 的分布律为：

  Y	0	1	4
  P	1/8	3/8	1/2

连续型情形

一般方法

1. 先求 Y 的分布函数 F_Y(y) = P(g(X) \leq y)
2. 再求密度函数 f_Y(y) = F_Y'(y)（在 F_Y 可导处）

单调函数情形

定理：设 X 的密度函数为 f_X(x)，g(x) 为 (-\infty, +\infty) 内严格单调可导函数，则 Y = g(X) 的密度函数为：

其中 h(y) = g^{-1}(y) 为反函数，y 的取值范围为 (\alpha, \beta)，\alpha = \min\{g(-\infty), g(+\infty)\}，\beta = \max\{g(-\infty), g(+\infty)\}。

重要特例

• 线性变换：若 Y = aX + b (a \neq 0)，则：
  f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X\left( \frac{y - b}{a} \right)
• 正态分布的线性变换：若 X \sim N(\mu, \sigma^2)，则 Y = aX + b \sim N(a\mu + b, a^2 \sigma^2)
• 标准化：若 X \sim N(\mu, \sigma^2)，则 Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)

案例（分子动能）：气体分子速度 X 服从麦克斯韦分布：

动能 Y = \frac{1}{2} m X^2（m 为质量），求 Y 的分布。
解答：
Y 是 X 的单调函数（x > 0 时 g(x) = \frac{1}{2} m x^2 严格增），反函数 x = h(y) = \sqrt{2y / m}，导数 h'(y) = \frac{1}{\sqrt{2 m y}}。
由定理：

化简：

例题：设 X 的分布函数 F(x) 为严格单调连续函数，求 Y = F(X) 的分布函数。
解答：
F(x) 单调增且值域 [0,1]，Y 的分布函数：

由 F 严格增，存在反函数 F^{-1}，故：

因此 F_Y(y) = y（0 \leq y \leq 1），即 Y \sim U(0, 1)。
重要结论：对任意连续型随机变量 X，F(X) \sim U(0, 1)。

例题：设 U \sim U(0, 1)，F(y) = 1 - e^{-\lambda y} (y \geq 0)，令 Y = -\frac{1}{\lambda} \ln(1 - U)，证明 Y \sim E(\lambda)。
解答：
由 F(y) = 1 - e^{-\lambda y} 得 F^{-1}(u) = -\frac{1}{\lambda} \ln(1 - u)。由上例结论，Y = F^{-1}(U) 的分布函数为：

故 Y \sim E(\lambda)。
应用：此方法用于蒙特卡罗仿真，通过均匀分布生成任意分布的随机数。