概率论基础

1.1 随机事件及其运算

随机试验与样本空间

• 随机试验 E 满足三个特征：
  1. 可在相同条件下重复进行
  2. 所有可能结果不止一个
  3. 每次试验前无法预知具体结果
• 样本空间 \Omega：随机试验 E 所有可能结果组成的集合
• 样本点：样本空间的元素，表示随机试验的直接结果

随机现象在相同条件下大量重复观察时，其结果呈现统计规律性。概率论正是对随机现象建立统计模型，研究其背后统计规律的学科。

随机事件

• 随机事件：在随机试验中可能发生也可能不发生的事情，记为 A, B, C 等
• 随机事件的本质：样本空间 \Omega 的子集
• 特殊事件：
  • 必然事件 \Omega：全体样本点组成的事件
  • 不可能事件 \emptyset：不包含任何样本点的事件
  • 基本事件：仅由一个样本点组成的子集

概率含义：事件 A 发生当且仅当试验结果 \omega \in A。

事件的关系与运算

事件间的关系与运算对应于集合的关系与运算：

1. 包含关系 A \subset B
   概率含义：若 A 发生则 B 一定发生

2. 和事件 A \cup B
   由组成 A 与 B 的所有样本点组成
   概率含义：A 与 B 至少有一个发生

   • n 个事件的和：A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n
   • 可列个事件的和：\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i

3. 积事件 A \cap B 或 AB
   由同时属于 A 与 B 的样本点组成
   概率含义：A 与 B 同时发生

   • n 个事件的积：A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n
   • 可列个事件的积：\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i

4. 差事件 A - B
   由属于 A 但不属于 B 的样本点组成
   概率含义：A 发生但 B 不发生

5. 互不相容（互斥）事件 AB = \emptyset

   • n 个事件两两互斥：A_i A_j = \emptyset（i \neq j; i,j=1,2,\ldots,n）
   • 可列个事件两两互斥：A_i A_j = \emptyset（i \neq j; i,j=1,2,\ldots）

6. 对立事件（互逆事件）
   A 与 B 互相对立 \iff A \cup B = \Omega 且 AB = \emptyset
   记作 B = \overline{A}（\overline{A} 称为 A 的对立事件）
   注：对立事件与互斥事件不同，对立事件要求两个事件必须覆盖整个样本空间。

事件运算的基本律

1. 交换律：

   A \cup B = B \cup A, \quad AB = BA

2. 结合律：

   (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C), \quad (AB)C = A(BC)

3. 分配律：

   A \cup (BC) = (A \cup B)(A \cup C), \quad A(B \cup C) = AB \cup AC

4. 德·摩根律（对偶律）：

   \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}, \quad \overline{AB} = \overline{A} \cup \overline{B}

   推广至 n 个事件：

   \overline{\bigcup_{i=1}^{n} A_i} = \bigcap_{i=1}^{n} \overline{A_i}, \quad \overline{\bigcap_{i=1}^{n} A_i} = \bigcup_{i=1}^{n} \overline{A_i}

   对可列个事件同样成立。

5. 吸收律：

   A \cup (AB) = A, \quad A \cap (A \cup B) = A

6. 幂等律：

   A \cup A = A, \quad A \cap A = A

7. 其他重要关系：

   A - B = A \overline{B} = A - AB, \quad A = A \Omega = A \cup \emptyset

   运算顺序：先括号，再积（交），最后和（并）。

例题精解

例题： 设 A, B, C 为三个事件，用 A, B, C 表示下列事件：
(1) A, B, C 都不发生
(2) A, B, C 不都发生
(3) A, B, C 中恰好有一个发生
(4) A, B, C 中至少有一个发生
(5) A, B, C 中不多于两个发生
(6) A, B, C 恰好有两个发生

解答：
(1) A, B, C 都不发生：\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} = \overline{A \cup B \cup C}
(2) A, B, C 不都发生：\overline{ABC}（即至少有一个不发生）
(3) 恰好有一个发生：(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C)
(4) 至少有一个发生：A \cup B \cup C
(5) 不多于两个发生：\overline{ABC}（即至多两个发生，等价于"不都发生"）
(6) 恰好有两个发生：(AB \cap \overline{C}) \cup (AC \cap \overline{B}) \cup (BC \cap \overline{A})

1.2 概率

古典概型（等可能概型）

定义： 随机试验 E 满足：

1. 样本空间 \Omega 中只有有限个样本点
2. 每个基本事件发生的可能性大小相同

概率计算： 设 A \subset \Omega 为随机事件，n = \#\Omega（样本点总数），k = \#A（A 中样本点数），则

案例：不放回与放回取球
袋中有 a 只白球，b 只红球，取球 m 次（m \leq a+b)，求恰有 k 次（k \leq a \land m）取到白球的概率。

• 不放回方式：
  P(A_k) = \frac{\binom{a}{k} \binom{b}{m-k}}{\binom{a+b}{m}}
• 放回方式：
  P(A_k) = \binom{m}{k} \left( \frac{a}{a+b} \right)^k \left( \frac{b}{a+b} \right)^{m-k}

案例：第 k 次取到白球的概率
袋中有 a 只白球，b 只红球，不放回取球，每次 1 球，求第 k 次（k \leq a+b）为白球的概率。
解答： 考虑第 k 次取球，所有球在序列中等可能地位于第 k 位。

注：该结果与 k 无关，表明在不放回抽样中，每次取到白球的概率相同。

几何概型

定义： 样本空间 \Omega 为有界区域，A 为 \Omega 的子区域。若在 \Omega 中完全随机取点，则点落入 A 的概率与 A 的测度成正比：

其中 m(\cdot) 表示长度、面积或体积。

重要结论：

• 概率为 0 的事件不一定是不可能事件（例如：单点集在连续区域中测度为 0）。

案例：Buffon 投针试验
平面上平行线间距为 a，投掷长度 l < a 的针，求针与平行线相交的概率。
解答： 设 x 为针中点与最近平行线的距离，\theta 为针与平行线的夹角。
样本空间：\Omega = \{(x,\theta) \mid 0 \leq x \leq a/2, \, 0 \leq \theta \leq \pi\}
相交区域：A = \{(x,\theta) \mid 0 \leq x \leq (l/2)\sin\theta\}

注：此公式可用于实验估算 \pi 值。

统计概率

频率定义： 在 n 次重复试验中，事件 A 发生 n_A 次，则

称为事件 A 的频率。

频率性质：

1. 0 \leq f_n(A) \leq 1
2. f_n(\Omega) = 1
3. 有限可加性：若 A_1, \ldots, A_k 两两互斥，则
   f_n(A_1 \cup \cdots \cup A_k) = f_n(A_1) + \cdots + f_n(A_k)

统计规律性案例：

• Buffon 投硬币：n=4040，正面频数 2048，频率 0.5069
• Pearson 投硬币：n=12000，正面频数 6019，频率 0.5016
• Pearson 投硬币：n=24000，正面频数 12012，频率 0.5005
  随着试验次数增加，频率趋于稳定值（概率）。

概率的公理化定义

概率空间 (\Omega, \mathcal{F}, P)：

• \Omega：样本空间
• \mathcal{F}：\Omega 上的 \sigma-代数（事件域），满足：
  • \Omega \in \mathcal{F}
  • 若 A \in \mathcal{F}，则 \overline{A} \in \mathcal{F}
  • 若 A_k \in \mathcal{F}（k=1,2,\ldots)，则 \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k \in \mathcal{F}
• P(\cdot)：定义在 \mathcal{F} 上的概率测度，满足：
  • 非负性：\forall A \in \mathcal{F}，P(A) \geq 0
  • 规范性：P(\Omega) = 1
  • 可列可加性：若 A_1, A_2, \ldots 两两互斥，则
    P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)

概率的基本性质

1. P(\emptyset) = 0

2. 有限可加性：若 A_1, \ldots, A_n 两两互斥，则

   P\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)

3. 对立事件概率：P(\overline{A}) = 1 - P(A)

4. 单调性：若 A \subset B，则 P(B - A) = P(B) - P(A)

5. 差事件概率：P(B - A) = P(B) - P(AB)

6. 加法公式：对任意事件 A, B，

   P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)

   推广至 n 个事件：

   P\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) - \sum_{1 \leq i < j \leq n} P(A_i A_j) + \cdots + (-1)^{n-1} P(A_1 A_2 \cdots A_n)

   三事件特例：

   P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)

例题精解

例题： 在 \{1,2,\ldots,9\} 中可重复任取 n 个数（n \geq 2)，求 n 次取到的数字乘积能被 10 整除的概率。
解答： 乘积被 10 整除 \iff 至少有一个 5 和至少有一个偶数。
设 A = "无 5"，B = "无偶数"，则所求事件为 \overline{A} \cap \overline{B}。

• P(A) = 无 5 的概率：\left( \frac{8}{9} \right)^n
• P(B) = 无偶数的概率：\left( \frac{5}{9} \right)^n（偶数有 2,4,6,8）
• P(AB) = 无 5 且无偶数的概率：\left( \frac{4}{9} \right)^n（剩余 1,3,7,9）
  因此：

例题： 将标有 1,2,3,4 的 4 个球随机放入标有 1,2,3,4 的 4 个盒子（每盒一球），求至少有一个球与盒子号码一致的概率。
解答： 设 A_i = "第 i 号球放入 i 号盒子"，i=1,2,3,4，求 P\left( \bigcup_{i=1}^{4} A_i \right)。
由加法公式：

• P(A_i) = \frac{3!}{4!} = \frac{1}{4}（固定 i 位置，其余排列），\sum P(A_i) = 4 \times \frac{1}{4} = 1
• P(A_i A_j) = \frac{2!}{4!} = \frac{1}{12}，\binom{4}{2} = 6 项，\sum P(A_i A_j) = 6 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{2}
• P(A_i A_j A_k) = \frac{1!}{4!} = \frac{1}{24}，\binom{4}{3} = 4 项，\sum P(A_i A_j A_k) = 4 \times \frac{1}{24} = \frac{1}{6}
• P(A_1 A_2 A_3 A_4) = \frac{1}{24}
  代入得：

1.3 条件概率

条件概率的定义

设 (\Omega, \mathcal{F}, P) 为概率空间，A, B \in \mathcal{F} 且 P(A) > 0，则在事件 A 发生的条件下，事件 B 的条件概率定义为：

性质：

1. \forall B \in \mathcal{F}，P(B \mid A) \geq 0
2. P(\Omega \mid A) = 1
3. 可列可加性：若 B_1, B_2, \ldots 两两互斥，则
   P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i \mid A \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(B_i \mid A)
4. P(\overline{B} \mid A) = 1 - P(B \mid A)
5. P(B_1 \cup B_2 \mid A) = P(B_1 \mid A) + P(B_2 \mid A) - P(B_1 B_2 \mid A)

注：P(\cdot \mid A) 是 \mathcal{F} 上的概率测度。

乘法公式

由条件概率定义直接可得：

推广至多个事件：

案例：产品检验
某批产品（100 件，含 10 件次品），不放回抽检至多 3 件：发现次品即拒收，3 件全正品才接受。求该批产品被拒收的概率。
解答： 设 A = "被拒收"，B_i = "第 i 件为正品"（i=1,2,3）。

由乘法公式：

因此：

全概率公式与 Bayes 公式

全概率公式： 设 B_1, B_2, \ldots 为 \Omega 的一个划分（B_i \cap B_j = \emptyset，\bigcup_{j=1}^{\infty} B_j = \Omega），则对任意事件 A：

Bayes 公式： 在全概率公式的条件下，若 P(A) > 0，则

案例：汽车保险
投保人分为三类：

• B_1（安全型，占比 25%）：年事故率 P(A \mid B_1) = 0.02
• B_2（一般型，占比 60%）：年事故率 P(A \mid B_2) = 0.08
• B_3（危险型，占比 15%）：年事故率 P(A \mid B_3) = 0.20
  求：
  (1) 投保人年事故概率 P(A)
  (2) 已知发生事故，是安全型的概率 P(B_1 \mid A)

解答：
(1) 由全概率公式：

(2) 由 Bayes 公式：

注：安全型投保人发生事故的概率反而最低。

案例：医学诊断问题
疾病患病率 P(A) = 0.001，血液检查：

• 假阳性率 P(B \mid \overline{A}) = 0.01
• 假阴性率 P(\overline{B} \mid A) = 0.01 → P(B \mid A) = 0.99
  尿液检查：
• 假阳性率 P(C \mid \overline{A}) = 0.05
• 假阴性率 P(\overline{C} \mid A) = 0.08 → P(C \mid A) = 0.92
  假设血检和尿检结果独立（即 P(BC \mid A) = P(B \mid A)P(C \mid A)，P(BC \mid \overline{A}) = P(B \mid \overline{A})P(C \mid \overline{A}))。

(1) 血检阳性后患病概率 P(A \mid B)
(2) 血检和尿检均阳性后患病概率 P(A \mid BC)
(3) 已知家族遗传患病率 P(A) = 0.03，结合两项检查结果求 P(A \mid BC)

解答：
(1) 由 Bayes 公式：

(2) 计算 P(A \mid BC)：

(3) 当 P(A) = 0.03 时：

1.4 事件的独立性

独立性定义

两事件独立： 事件 A, B 满足

则称 A 与 B 相互独立。
注：若 P(A) > 0，则 A 与 B 独立 \iff P(B \mid A) = P(B)。

重要结论：

1. \Omega 和 \emptyset 与任何事件独立。
2. 若 A, B 独立，则 A, \overline{B}；\overline{A}, B；\overline{A}, \overline{B} 也相互独立。
3. 独立性与互斥性区别：
   • 独立性：P(AB) = P(A)P(B)
   • 互斥性：AB = \emptyset
   • 若 P(A) > 0 且 P(B) > 0，则独立事件不可能互斥（互斥事件不可能独立）。

多事件独立性

三事件相互独立： 需同时满足：

1. 两两独立：
   P(AB) = P(A)P(B), \quad P(AC) = P(A)P(C), \quad P(BC) = P(B)P(C)
2. 三者独立：
   P(ABC) = P(A)P(B)P(C)

注：仅满足两两独立不足以保证三者独立。

n 个事件相互独立： 要求对任意 1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n（k=2,3,\ldots,n），有

独立性应用

案例：射击问题
甲、乙独立射击目标，命中率分别为 0.8 和 0.6。已知目标只有一个弹孔，求是甲击中的概率。
解答： 设 A = "甲击中"，B = "乙击中"。
C = "仅一个弹孔" = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)
所求 P(A \mid C) = P(A \cap \overline{B} \mid C)
由条件概率：

案例：骰子独立性
掷两枚骰子，设：

• A = "第一枚点数为奇数"
• B = "第二枚点数为奇数"
• C = "两枚点数和为奇数"
  判断 A, B, C 的独立性。
  解答：
• P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{2}
• P(AB) = P(A)P(B) = \frac{1}{4}（A,B 独立）
• P(AC) = P(\text{第一奇且和奇}) = P(\text{第二偶}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = P(A)P(C)
• 同理 P(BC) = P(B)P(C) = \frac{1}{4}（两两独立）
• 但 P(ABC) = P(\text{第一奇、第二奇、和奇}) = 0 \neq P(A)P(B)P(C) = \frac{1}{8}
  因此 A, B, C 两两独立但不相互独立。

一般结论

若 n 个事件 A_1, \ldots, A_n 相互独立，则：

• 将它们任意分成 k 组（同事件不属不同组），对每组进行和、积、差、对立运算后，得到的 k 个事件仍相互独立。

案例：电路系统
[图：串联并联混合电路，元件1-5连接左右端点L和R]
设每个元件正常工作概率为 p，且相互独立，求电路L到R通路的概率。
解答： 设 A_i = "元件 i 正常工作"（i=1,2,3,4,5）。

• 方法一： 直接计算通路概率
  L-R通路 \iff [(1和2通) 或 3通] 且 (4和5通)

  \begin{aligned} P(A) &= P\left( (A_1 A_2 \cup A_3) \cap (A_4 A_5) \right) \\ &= P(A_1 A_2 \cup A_3) \cdot P(A_4 A_5) \quad \text{(因两部分独立)} \\ &= \left[ P(A_1 A_2) + P(A_3) - P(A_1 A_2 A_3) \right] \cdot P(A_4) P(A_5) \\ &= \left[ p^2 + p - p^3 \right] p^2 \\ &= p^4 (1 + p - p^2) \end{aligned}

• 方法二： 用对立事件
  断路 \iff {[(1断或2断) 且 3断] 或 (4断或5断)}
  更复杂，验证方法一：

  P(\text{通路}) = p^4 + p^3 - p^5

  注：两种方法等价，因 p^4(1 + p - p^2) = p^4 + p^5 - p^6（校正原文，实际应为 p^4(1 + p - p^2) = p^4 + p^5 - p^6）。
  最终结果：

  P(\text{通路}) = p^4 + p^3 - p^5 - p^4 + p^5 = p^4 + p^3 - p^5 \quad \text{(简化后)}